『８個の点』解答

◆東京都　goya　さんからの解答。

『７個の点』で証明します。

７個のどの３点をとっても
「ＡＢ：ＡＣが０．８以上１以下とならない」
の条件を満たす７個の点を作図できるか考えます。

作図する上でもっとも離れた位置にある２点をXとYとおき、
この線分XYの長さを１とします。

他の５個の点(Z₁〜Z₅)はXからもYからも、それぞれ

0.8以下,
0.8²以下,
0.8³以下,
0.8⁵以下

の５種類の長さの線で結ぶことになります。−−−*1

また、線分XZ_n は次により 0.2以上です。

　線分XZ_n＜0.2　なら
　△XYZ_nにおいて
　線分YZ_n＞線分XY−線分XZ_n　すなわち
　線分YZ_n＞１−0.2　となり、*1を満たさない

その次に短い 線分XZ_n は 0.2/0.8以上

その次に短い 線分XZ_n は 0.2/0.8²以上

　　　：

となります。
線分YZ_n も同様です。−−−*2

次に、△XYZ_nにおいて
線分XZ_nまたは線分YZ_nの長さを決めれば、
線分XY＝１なので、残る１辺の長さは
１−線分XZ_n（または１−線分YZ_n）以上です。

また、もっとも遠い位置にある線分XYが１なので、

ＡＢ：ＡＣ＜０．８を満たすためには
残る１辺＜０．８−−−*3

*1,*2,*3をまとめると次表のようになります。

	XZnまたはYZn	残る１辺
L1	0.80〜0.49	0.20〜0.51
L2	0.64〜0.39	0.36〜0.61
L3	0.51〜0.31	0.49〜0.69
L4	0.41〜0.25	0.59〜0.75
L5	0.33〜0.20	0.67〜0.80

* 数字はまるめてあります。

この５種類の長さの線が XからもYからもそれぞれ１本づつ引かれます。
（長さには幅があるので同じL₁でもXからとYからでは異なる長さであっても構いません）

線分XZ1をL5とすると△XYZ₁において、
線分YZ1(残る１辺)となりうるのはL₁しかありえない。
但し、表によりL₅に対するYZ_n＝0.67〜0.80

同様に線分XZ₂をL₄とすると、線分YZ₂はL₂となる。
（L₁は線分YZ₁で使用するため)

すると、線分XZ₃と線分YZ₃は共にL₃を使用することになります。

しかし、１≦XZ₃＋YZ₃　（△XYZ₃）
かつ、
XZ₃/YZ₃が 0.8以下、1/0.8以上となるL₃,L₃の組み合せは無い。

したがって、
「ＡＢ：ＡＣが０．８以上１以下とならない」７個の点は置けない。

よって、７個の点から３点をうまく選びＡ，Ｂ，Ｃとしたとき、
ＡＢ：ＡＣが０．８以上１以下にすることができる

【コメント】

上記の方法では説明できませんが点が５個でも
ＡＢ：ＡＣが０．８以上１以下になる３点が存在すると思います。

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