◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
等間隔の条件より、図１において、
△Ｃ1ＤＦは二等辺三角形で点Ｅは底辺ＤＦの中点であるので、
線分△Ｃ1Ｅ と線分ＤＥＦＧ（以後ｍ）は直交する。
同様に、線分△Ｃ2Ｆ と線分ｍは直交する。
図２は線分ｍが線分ＡＢと交わり、点Ｅが円Ｃ2の上にある条件下で、極端な場合として、点Ｅが点Ａと重なり、かつ線分ｍと線分ＡＢの交点である状態を示している。
この時、線分ｍは点Ａにおける円Ｃ1の接線である。
よって、点Ｃ2からｍに下ろした垂線の足Ｆ1は
円Ｃ1の内部には存在しない。
図３は線分ｍが線分ＡＢと交わり、点Ｅが円Ｃ2の上にある条件下で、逆の極端な場合として、点Ｇが点Ｂと重なり、かつ線分ｍと線分ＡＢの交点である状態を示している。
この時の点Ｅの位置Ｅ2は円Ｃ2とＣ1Ｂを直径とする円の交点であり、
従って円Ｃ1の内部の点である。
よって、線分Ｅ2Ｇ＝Ｅ2Ｂの中点であり、
線分ｍに点Ｃ2よりおろした垂線の足である点Ｆ2は
円Ｃ1の外部には存在しない。
以上より、Ｆが円Ｃ2上である条件をはずした中で、線分ｍと線分ＡＢの交点ＱがＡからＢへ移動するとき、
点Ｆは円Ｃ1の外部ないし円上の点Ｆ1から内部ないし円上の点Ｆ2に移動することがわかった。
従って，必ずその途中に円Ｃ1上の点となるＦが存在する。
このとき、ＤＥＦＧは等間隔に並ぶ。図２参照。
なお、交点Ｑが端点であるとすると、図２より、
ＤＥ＝ＥＦ＝０であり、よってＥＧ＝０。
このようになるためには、点Ｃ1点Ａ点Ｃ2点Ｂは一直線上でなければならず
ＡＢ＝０であり、２点で交わる条件に反する。
よって交点Ｑは端点ではない。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
Y.M.Ojisan さんの図１を参考して、解答します。
C1の半径をｒ、
C2の半径をR、
C1C2をS、
EF,DE,FGの長さをｘとします。
LとC1C2の角度＝arccos(x/S)