◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題１】
とりあえず、存在は示せます。
点ｐが正三角形の重心ならば、３つの線分からできる３角形は正三角形。
【問題２】
とりあえず、存在は示せます。
点ｐが正三角形の重心を通り平面に垂直な直線上にあれば、３つの線分からできる３角形は正三角形。
この問題は一般化するとおもしろい問題ですね。
◆富山県 N.C さんからの解答。
【問題１】について
●ＣＡＳＥ１
点Ｐが正三角形の内部にある場合。
＃ 次の作業をすると見やすくなります。
＃ 三角形ＰＡＢとＰＡＣを切り抜いておく。
２つの三角形ＰＡＢとＰＡＣを移動して、辺ＡＢとＡＣを重ねます。
点Ｐの移動後の位置は、三角形ＰＡＢ側をγ、ＰＡＣ側をβとし、２点ＢとＣが移動後に重なった点をαとします。
三角形Ａβγは、Ａβ＝Ａγ（ともにＰＡに等しい）で、
∠Ａ＝６０度ですから正三角形です。
したがって、
ＰＡ＝βγ、ＰＢ＝γα、ＰＣ＝αβとなり、
三角形αβγは求めるものになっています。
●ＣＡＳＥ２
点Ｐが三角形の外部にあって、線分ＰＡが辺ＢＣと交わる場合
＃ 次の作業をすると見やすくなります。
＃ 三角形ＰＡＢとＰＡＣを切り抜いておく。
２つの三角形ＰＡＢとＰＡＣを移動して、辺ＡＢとＡＣを重ねます。
点Ｐの移動後の位置は、三角形ＰＡＢ側をγ、ＰＡＣ側をβとし、２点ＢとＣが移動後に重なった点をαとします。
三角形Ａβγは、Ａβ＝Ａγ（ともにＰＡに等しい）で、
∠Ａ＝６０度ですから正三角形です。
したがって、
ＰＡ＝βγ、ＰＢ＝γα、ＰＣ＝αβとなり、
三角形αβγは求めるものになっています。
●ＣＡＳＥ３
点Ｐが三角形の外部にあって、三角形ＰＢＣの内部に点Ａがある場合
＃ 次の作業をすると見やすくなります。
＃ 三角形ＰＡＢとＰＡＣを切り抜いておく。
２つの三角形ＰＡＢとＰＡＣを移動して、辺ＡＢとＡＣを重ねます。
点Ｐの移動後の位置は、三角形ＰＡＢ側をγ、ＰＡＣ側をβとし、２点ＢとＣが移動後に重なった点をαとします。
三角形Ａβγは、Ａβ＝Ａγ（ともにＰＡに等しい）で、
∠Ａ＝６０度ですから正三角形です。
したがって、
ＰＡ＝βγ、ＰＢ＝γα、ＰＣ＝αβとなり、
三角形αβγは求めるものになっています。
●ＣＡＳＥ４
点Ｐが、辺ＢＣ上にある場合
これは（ＣＡＳＥ１）や（ＣＡＳＥ２）の特殊例となります。
●ＣＡＳＥ５
点Ｐが、３つの頂点Ａに重なる場合
辺の長さが０の三角形の存在を認めると、
これは（ＣＡＳＥ１）や（ＣＡＳＥ３）の特殊例となります。
長々と書きましたが、なんか一つにまとまらないものだろうか？
◆富山県 N.C さんからの解答。
【問題１】について
毎回、解答を送信したその翌日に、よりよい方法に気付くのはどうしてでしょうか。
（証明の背景にある原理は同じですが，記号が簡単になる。）
原理は同じなので，証明の基本方針だけ言えば、
まず、三角形ＰＡＣを点Ａを中心に６０度回転して、
辺ＡＣを辺ＡＢに重ねることができることを示す。
次に，点Ｐの移動後の位置をＰ'とし、
三角形ＡＰＰ'が正三角形となることを示す。
最後に、三角形ＢＰＰ'が求める三角形であることを示す。
（注：三角形ＰＡＣがつぶれてしまう場合も、上の証明の流れは同じです。）
なお、前回の証明の場合分けに、
「点Ｐが三角形の外部にあって、辺ＡＢの延長線上にある場合」
が、抜けておりました。
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答。
【コメント】
できる場合できない場合の予想は殆どできていて，問題２の証明も問題１を前提にすでに出来ていました。
N.Cさんの解答を見せてもらったおかげで，問題２の解答を送ることが出来ました。
その前に少し問題１の補足をしておきます。
【問題１】
［図１］のような斜線領域に点Ｐがあるときを考えます。
（細線は含まない。太線は含む。点Ａを除く）
（実際は，細線と一部を除くと，この領域以外でもＮ．Ｃさんの方法が使えますが，証明の都合上です）
Ｎ．Ｃさんの証明どおり，△PＡBを点Ａのまわりに６０°回転させることによって，
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣを三辺とする三角形の存在が示せます。
１例を［図２］に示しておきます。
ＰＡ・・赤，ＰＢ・・青，ＰＣ・・黒
［図１］の斜線部分を三角形ＡＢＣの重心の周りに
１２０°，２４０°回転させることにより，頂点Ａ，Ｂ，Ｃ以外を埋め尽くせます。
ただし，［図２］でＰ,Ｃ,Ｐ'が一直線上になって三角形にならない場合があります。
∠ＡＣＰ＋∠ＡＣＰ'＝１８０° すなわち
∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ'＝１８０°のときです。
このとき，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが共円点になります。
［図３］に示しておきます。
従って，
点Ｐが正三角形ＡＢＣの外接円の上にないとき，
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣを三辺とする三角形を作ることができる。
点Ｐが正三角形ＡＢＣの外接円上のとき，
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣを三辺とする三角形は作れない。
また，このとき
ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＣ または
ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＡ または
ＰＣ＋ＰＡ＝ＰＢ
【問題２】
平面π上にない点Ｐの平面πへの正射影を点Ｑとするとき，問題１の結果より，
ＱＣ≧ＱＡ＋ＱＢ
（ＱＣ≧ＱＡ，ＱＣ≧ＱＡ）としても一般性を失わない。
直角三角形ＰＱＣと直角三角形ＰＱＡを［図４］のように重ねる。
図から ＰＣ≧ＰＡ …(1)
ＰＡ＋（ＱＣ−ＱＡ）≧ＰＣ …(2)
ＰＣ＞ＱＣ…(3)
ＱＡ＝０のときも，不等号は成り立つ。
ＱＣ＝ＱＡのとき等号成立
また，同様にして
ＰＣ≧ＰＢ …(4)
ＰＢ＋（ＱＣ−ＱＢ）≧ＰＣ …(5)
ＱＢ＝０のときも，不等号は成り立つ。
ＱＣ＝ＱＢのとき等号成立
(2)＋(5)より，
ＰＡ＋（ＱＣ−ＱＡ）＋ＰＢ＋（ＱＣ−ＱＢ）≧２ＰＣ ＰＡ＋ＰＢ≧ＰＣ＋（ＰＣ−ＱＣ）＋（ＱＡ＋ＱＢ−ＱＣ）＞ＰＣなぜならば，
従って，(1)，(4)と，ＰＡ＋ＰＢ＞ＰＣから，
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣを三辺とする三角形を作ることができる。
【蛇足】
［問題１］［問題２］の結果をあわせると，正三角形ＡＢＣの外接円を除いて，すべての空間において，
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣを三辺とする三角形を作ることが出来る。