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４
◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
題意の楕円は原点中心、半径１の円をｘ軸方向にａ倍，ｙ軸方向にｂ倍したものである。
∴原点中心、半径１の円内の図形の面積も同様に拡大される。
よって求める最大値は，原点中心、半径１の円の内接三角形の面積の最大値を
ａｂ倍したものである。
点Ｏ中心半径１の円に内接する三角形の各頂点をＡ，Ｂ，Ｃとする。
まず点Ｂ，Ｃを固定すると，△ＡＢＣの面積が最大となるのは，点Ａから直線ＢＣに下ろした垂線の長さが最大となるときで，
それはＡＢ＝ＡＣのときである。
∴△ＡＢＣは二等辺三角形である。
次に∠ＢＯＣ＝θ（0≦θ＜360）とすると，正弦定理より
| ＢＣ＝ |
1 ― 2 | sin( |
θ ―― 2 | )， |
また点Ａから線分ＢＣに下ろした垂線の足をＨとして
| ＡＨ＝１＋cos( |
θ ―― 2 | )となる。 |
| ∴△ＡＢＣ＝ |
1 ―― 2 | ×ＢＣ×ＡＨ |
| ＝ |
1 ―― 2 | sin( |
θ ―― 2 | ){1＋cos( |
θ ―― 2 | )} |
これをf(θ)とすると導関数f'(θ)は
f'(θ)
| ＝ |
1 ―― 2 | {cos( |
θ ―― 2 | )＋cos2( |
θ ―― 2 | )−sin2( |
θ ―― 2 | )} |
| ＝ |
1 ―― 2 | {2cos2( |
θ ―― 2 | )＋cos( |
θ ―― 2 | )−1} |
| ＝ |
1 ―― 2 | {2cos2( |
θ ―― 2 | )−1}{cos( |
θ ―― 2 | )＋1} |
∴f'(θ)＝０となるのはθ＝120のとき。
このとき△ＡＢＣは正三角形であり，
| その面積は |
３ ――― ４ | 。 |
よって，求める最大値は
|
３ab ―――― ４ | である。 |
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
任意点Pについて、三角形PQRの面積が最大になるような点Q,Rが存在する。
(最大の時はPと関係なく面積は同じ値です。)
面積が最大になるときは、楕円上の点P,Q,Rの接線
よってPを（-a,0), Qを（r,s), Rを(r,-s);
a,r,s≧0 とすると
dS/ds=0
↓
b2(b2-s2)=(2s2-b2)2
↓
s= b/2
↓
r=a/2
| 最大になるときの面積＝(a+ |
a ― 2 | ) |
b ―――― 2 | = |
3ab ―――― 4 |