◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
『高校生からの挑戦状Part13』 での考察から、1,2,3,....,n,...について、
kn,k>0, k≠Em,mは負でない整数
のE進法表記での最高位がM
M<Eである割合は log | E | (1 + | 1 M |
) |
◆大阪府 らぶりぃナナちゃん さんからの解答。
n*log102をXとし、Xの小数部分をYとおく。
Xの最上桁が1は、0≦Y<log102=.3010
また、yは0から1を一様に分布するので、
求める確率は30.1%。
◆京都府 大空風成 さんからの解答。
2nの最上桁が1になるのは、
kを自然数として、
10k≦2n<2×10k
の場合である。
各辺の10を底とする対数をとる(常用対数として底を省略)と、
k≦n×log2<log2+k
よって、
|
この幅は1で、
|
だから、どの自然数kに対しても、異なるnがただ1つずつある。
したがって、求める確率はすべての自然数nに対するkの個数の比と考えて良いから、
log2
(答) およそ 0.3
ただし、これはnを1から十分大きな数までの自然数として考えたとき、
2nの中で、最上桁が1になるものが約0.3(30パーセント)あるということを求めています。
個数が無限の場合の確率については、どのように考えるのでしょうか。
◆富山県 萩の葉 さんからの解答。
2nの十進法による表示の桁数が上がる毎に最上桁が1になる数が現れるので、確率としては
log2n n |
= | nlog2 n |
=log2 |
◆出題者のコメント。
甘泉法師さん、さんらぶりぃナナちゃんさん、大空風成さん、萩の葉さん、
たくさんの解答をありがとうございました。
僕は、単に、「2nが位が上がるときに最高桁がかならず1になること」を考えて出題したのですが、
皆さんのほうが一枚、いや、十枚上手でした。
出題のあと拡張「anの最高桁がkになる確率」を考えたのですが、
甘泉法師さんの解答の中の『高校生からの挑戦状Part13』にちゃんと拡張されていますね。
ここで僕が書くまでもないと思います。
本当に勉強になりました。ありがとうございました。