『最上桁が1になる確率』解答


◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。

『高校生からの挑戦状Part13』 での考察から、1,2,3,....,n,...について、
n,k>0, k≠Em,mは負でない整数

のE進法表記での最高位がM

M<Eである割合は log E (1 + 1
M
)

よって答えは log102.


◆大阪府 らぶりぃナナちゃん さんからの解答。

n*log102をXとし、Xの小数部分をYとおく。

Xの最上桁が1は、0≦Y<log102=.3010

また、yは0から1を一様に分布するので、
求める確率は30.1%。


◆京都府 大空風成 さんからの解答。

nの最上桁が1になるのは、
kを自然数として、

10k≦2n<2×10k

の場合である。
各辺の10を底とする対数をとる(常用対数として底を省略)と、
k≦n×log2<log2+k

よって、

k
log2
≦n<1+ k
log2

この幅は1で、

1
log2
1

だから、どの自然数kに対しても、異なるnがただ1つずつある。
したがって、求める確率はすべての自然数nに対するkの個数の比と考えて良いから、
log2

(答) およそ 0.3

ただし、これはnを1から十分大きな数までの自然数として考えたとき、
nの中で、最上桁が1になるものが約0.3(30パーセント)あるということを求めています。
個数が無限の場合の確率については、どのように考えるのでしょうか。


◆富山県 萩の葉 さんからの解答。

2nの十進法による表示の桁数が上がる毎に最上桁が1になる数が現れるので、確率としては

log2n
n
nlog2
n
=log2

で0.301029…


◆出題者のコメント。

甘泉法師さん、さんらぶりぃナナちゃんさん、大空風成さん、萩の葉さん、 たくさんの解答をありがとうございました。

僕は、単に、「2nが位が上がるときに最高桁がかならず1になること」を考えて出題したのですが、 皆さんのほうが一枚、いや、十枚上手でした。

出題のあと拡張「anの最高桁がkになる確率」を考えたのですが、 甘泉法師さんの解答の中の『高校生からの挑戦状Part13』にちゃんと拡張されていますね。
ここで僕が書くまでもないと思います。
本当に勉強になりました。ありがとうございました。


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