◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
p=2003，m-n=U2*V とおきます。
ここで U,Vは整数でVの因数は単独冪です。
与式に代入し整理すると、
U2*V*(1+2p*n+p*U2*V)=n2
従ってn=U*V*Wでなければ成らない。
これをさらに代入して整理すると、
1=V*(W2-p*U*(U+2W))
よって V=1である。
即ちm-n=U2（平方数）である。
因みに U=2 W=4p+1は１つの解であり、
m-n=U2=4，n=8p+2=160026，m=8p+6=160030 です。
【ＰＳ】
2003〜2004年用の問題でしょうか。何年でも使えますね。
◆福岡県 もでり さんからの解答。
与式は、
(m-n){2004(m+n)+1} = m2 (*)
(m-n){2003(m+n)+1} = n2
と変形できる。
両辺掛け合わせて、
(m-n)2 {2004(m+n)+1} {2003(m+n)+1} = (mn)2 (A)
{2004(m+n)+1} {2003(m+n)+1} 部分を(B)とおく。
ここで、2004(m+n)+1 と 2003(m+n)+1 が互いに素であることを示す。
m+n=kとおき、共通因子lを持つとすると
2004k+1 =lA (1)
2003k+1 =lB (2) とあらわせる。
(A,Bは互いに素)
このとき、
lA = lB+k
A = B+(k/l)
よって、k = ml(mは整数)とおけるが、(1)に代入して
2004ml + 1 = lA
A - 2004m = 1/l
これより、l=1。
したがって(1)、(2)は互いに素である。
ここで、(A)を考えると(B)部分は平方数になるが、(1),(2)は互いに素より、(1)、(2)はそれぞれ平方数となる。
(*)をみると、(m-n)が平方数であることが必要である。
また、n=160026，m=160030 は与式を満たし、
さらに、m-n=4=22 を確かにみたす。
あってるかどうか不安です。
誤りがあれば厳しき批判をよろしくお願いします。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
ぺルの方程式
A2-1003503*B2=1 →
(4007+4*sqrt(1003503))n=An+Bn*sqrt(1003503)
A1=4007,B1=4
1003503=3*167*2003
Xn=4007*Yn+2-Bn/2
Yn=(An-4007)/8028024
X=M-N，Y=M+N
n=2*m+1 (mは自然数) のとき成り立つことが予想されます。
N= 3 A= 257346341351 B= 256896780 Y= 32056 X= 4 M= 16030 N= 16026 M-N= 4 = 22 2003*M2+M= 514692698730 2003*N2+N= 514692698730 N= 5 A= 16527861352116842087 B= 16498988636695316 Y= 2058770794920 X= 256896784 M= 1029513845852 N= 1029256949068 M-N= 256896784 = 160282 2003*M2+M= 2122977213878355191578471564 2003*N2+N= 2122977213878355191578471564 N= 7 A= 1061488573883454119516511527 B= 1059634247006915236778524 Y= 132222894934476294480 X= 16498988893592100 M= 66119696961684943290 N= 66103197972791351190 M-N= 16498988893592100 = 1284483902 2003*M2+M= 8756744095589013389487271810570065281215590 2003*N2+N= 8756744095589013389487271810570065281215590 N= 9 A= 68173248097874274234066270396442151 B= 68054155448816027009431223714340 Y= 8491908855513420766313886256 X= 1059634263505904130370624 M= 4246484244888463335222128440 N= 4245424610624957431091757816 M-N= 1059634263505904130370624 = 10293853814322 2003*M2+M= 36119354769498143119085291691747228153429312658580459829240 2003*N2+N= 36119354769498143119085291691747228153429312658580459829240 N= 11 A= 4378371911448007314529299675343438099089767 B= 4370723282050916529328703734571935963436 Y= 545386001766811772676476761323015240 X= 68054156508450290515335354084964 M= 272727027961660111483496048338550102 N= 272658973805151661192980712984465138 M-N= 68054156508450290515335354084964 = 82494943183476582 2003*M2+M= 148983203656942673016020752486417408254717641769761370471249253067451989314 2003*N2+N= 148983203656942673016020752486417408254717641769761370471249253067451989314 N= 13 A= 281197407044987574508500663159119751036662022780647 B= 280706179986754713003257909601645512840066856244 Y= 35026976382356053557949087242280261124862360 X= 4370723350105073037778994249907290048400 M= 17515673552853079315493433118265084207455380 N= 17511302829502974242455654124015176917406980 M-N= 4370723350105073037778994249907290048400 = 661114464378527497802 2003*M2+M= 614518036480263979068980912608903211081575215607797677657436589197584062782239190169088580 2003*N2+N= 614518036480263979068980912608903211081575215607797677657436589197584062782239190169088580 N= 15 A= 18059676822354244334451489791852645230510607520058593283751 B= 18028128160468247747612276567374014807166210176448803900 Y= 2249579326413852815394110654359359816377057108954656 X= 280706184357478063108330947380639762747356904644 M= 1124930016299105146728609492653370228069902232929650 N= 1124649310114747668665501161705989588307154876025006 M-N= 280706184357478063108330947380639762747356904644 = 5298171235034576183892622 2003*M2+M= 2534731485766122057072554848324085115196782216799911492203469221198294075086043436968539170848066025 297150 2003*N2+N= 2534731485766122057072554848324085115196782216799911492203469221198294075086043436968539170848066025 297150 N= 17 A= 1159868187816182243661806318993389398196824817306350949760698491047 B= 1157842000434775593476533900289969794276405670971509372674700356 Y= 144477419077992572476341166766988912613717250634321839316960 X= 18028128441174432105090339675704962187805972923805708544 M= 72247723603216873454223128553332308787952528303622822512752 N= 72229695474775699022118038213656603825764722330699016804208 M-N= 18028128441174432105090339675704962187805972923805708544 = 42459543616452629159187958882 2003*M2+M= 1045512633239118151831334831132580488191349666720202500967942157363217439915638846461635645101371399 6270900042173657361264 2003*N2+N= 1045512633239118151831334831132580488191349666720202500967942157363217439915638846461635645101371399 6270900042173657361264 N= 19 A= 74491599508734906696614297067212990975846335398052410318907833405916507367 B= 74361469257271094033773887191551928709471400061159579257268078106809164 Y= 9278945791484293855700269090776633325441769406525492489672157607640 X= 1157842018462904034650966005380309469981367858777482296480408900 M= 4640051816751378379867460028391006817455875387192134985984319008270 N= 4638893974732915475832809062385626507985894019333357503687838599370 M-N= 1157842018462904034650966005380309469981367858777482296480408900 = 340270777244080135047156118571702 2003*M2+M= 4312475196686194747842345849851036445267551180859420670880391974036692942225932576283771243017326090 8192393019418021995704083550089986970 2003*N2+N= 4312475196686194747842345849851036445267551180859420670880391974036692942225932576283771243017326090 8192393019418021995704083550089986970