◆沖縄県 jpgr さんからの解答。
【解答】
1,111,111,111,111,111,111(1が19個連続する数)は素数である。
【感想】
たぶん他にもあると思いますが、すぐに数が大きくなるだけにチェックする余裕がありません。
「力業」で見つけたので、あまり誇れるものではありません。
とりあえず、
(1)偶数桁ならば11で割り切れる。
(2)桁数が3の倍数ならば3で割り切れる。
(3)「合成数」桁の数は、「桁数がその素因数となる数」で割り切れる。
のはわかったので、それ以外の数、つまり「素数桁の数」で探しました。
◆神奈川県 いわし さんからのコメント。
『１１１・・』の解答の中で清川さんが検索結果を報告しておられるように、
十進表記で11…1（n桁）が素数となるnは、
n=2,19,23,317,1031,49081が知られているそうです。
また、その後n=86453が発見されたそうです。
（n=49081, 86453はおそらく素数）
この種の問題は、素数判定法はいくつかあるにせよ、基本的には「力業」によるしかないと思います。