『１１１・・』解答

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

参考までに

１１１＝３×３７
１１１１＝１１×１０１
１１１１１＝４１×２７１
１１１１１１＝３×７×１１×１３×３７
１１１１１１１＝２３９×４６４９
１１１１１１１１＝１１×７３×１０１×１３７
１１１１１１１１１＝３×３×３７×３３３６６７
１１１１１１１１１１＝７×１１×１１×１３×１０１×９９０１
１１１１１１１１１１１＝２１６４９×５１３２３９
１１１１１１１１１１１１＝３×７×１１×１３×３７×１０１×９９０１　
１１１１１１１１１１１１１＝？　

【コメント】

　『今週の問題』第３回を思い出しました。

１１番目は素数なんでしょうか。
１１個連続は難しそうですね。

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

残念ながら、１が１３個は素数のようです。
１１）１１１１１１１１１１１１１．．．．．素数。

１４個から出直しです。しかし、実験的アプローチでは限界のようです。

◆埼玉県　斉藤　誠　さんからの解答。

「同じ数１のみからなる数なので、その桁数が合成数であれば素数ではない。」

６桁の場合
　１１１１１１
＝１１１ｘ１０００＋１１１（２分割）
＝１００１ｘ１１１
＝１１ｘ１００００＋１１ｘ１００＋１１（３分割）
＝１０１０１ｘ１１

よって、題意は「連続する１１桁の数に素数が含まれない」問題と同意である。

「連続するＮ個の整数に素数が含まれない」問題はＮ→∽となりますので、問題の解答は「無限にある」でしょう。

なお、１のみでなる素数桁の数について調べた結果、実際に素数であるのは６１桁までの中で　１９桁　２３桁のみです。
６７桁めは、６時間運転（Ｐ１００Ｍｈｚ）しても分解できませんでした。

◆埼玉県　斉藤　誠　さんからの解答。

５１桁までの約数を計算しました。（２５桁までＵＰします）
１９桁と２３桁が素数でした。
「Ｕｂａｓｉｃ＋ＭＰＱＳＸ３」を使用させて頂ました。

3)111= 3 * 37 
4)1111= 11 * 101 
5)11111= 41 * 271 
6)111111= 3 * 7 * 11 * 13 * 37 
7)1111111= 239 * 4649 
8)11111111= 11 * 73 * 101 * 137 
9)111111111= 3 * 3 * 37 * 333667

以下数値省略（桁数のみ） 

10)= 11 * 41 * 271 * 9091 
11)= 21649 * 513239 
12)= 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901 
13)= 53 * 79 * 265371653 
14)= 11 * 239 * 4649 * 909091 
15)= 3 * 31 * 37 * 41 * 271 * 2906161 
16)= 11 * 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353 
17)= 2071723 * 5363222357 
18)= 3 * 3 * 7 * 11 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667 
19)= 1111111111111111111 is a prime
20)= 11 * 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 
21)= 3 * 37 * 43 * 239 * 1933 * 4649 * 10838689 
22)= 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239 
23)= 11111111111111111111111 is a prime
24)= 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001 
25)= 41 * 271 * 21401 * 25601 * 182521213001

◆愛知県　知多高弓道部　さんからの解答。

１の並んだ個数が合成数ならばその数は合成数である。
例えば並んだ個数がａ・ｂならば１がａ個並んだ数の倍数になるからである。
そこで、１１個の連続した合成数を見つければよい。
そのような連続した数はもちろん存在する。例えば、

１２！＋ｎ（ｎ＝２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２）

である。

問題がおしゃれでおもしろいですね。
１０進法に関連するのかと思ったら関係ないようですね。
整数っておもしろいものですね。

【コメント】

この解答は決定版ですね。
とってもおしゃれだし。。。

◆広島県　清川　育男　さんからのコメント。

数列サイトで検索した結果を報告します。

ID Number: A004023 (Formerly M2114)
Sequence:  2,19,23,317,1031,49081
Name:      (10^n - 1)/9 is prime.
Comments:  49081 is at present only a probable prime.
References J. Brillhart et al., Factorizations of b^n +- 1. 
Contemporary Mathematics, Vol. 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2nd edition,1985; and later supplements.
H. C. Williams and Harvey Dubner, The Primality of R1031, Math Comp.,47(176), Oct 1986, 703-711.
Harvey Dubner, New Probable prime Repunit R(49081), posting to Number Theory List (NMBRTHRY@LISTSERV.NODAK.EDU) Sep 9, 1999.
Links:     Cunningham project
See also:  Cf. A004022.
Keywords:  hard,nonn,nice
Offset:    1
Author(s): njas

◆東京都の中学校１年生　安里歩安彼　さんからの解答。

一般に、１１個でなくて、ｎの場合に示す。
そのまえに、下のことを示す。

補題

ｍが合成数ならば、１…１（１がｍ個）も合成数。

証明

ｍが合成数なので、仮にある数ｐで割り切れるとしよう。
そのとき、１…１（１がｐ個）（Ｐとする）で、１…１（１がｍ個）（Ｍとする）が割り切れることは、容易に確認できる。
実際、ｍ＝ｐｑとすると、
Ｍ＝Ｐ×（１＋１０＋１００＋…＋１０^q-1）であって、示される。

さて、補題１，１より、一般にｎ個の連続した合成数が構成できればよいが、これは、次のようにすればよい。

ｎ！＋１〜ｎ

ｎ！は、１〜ｎまでの全てで割り切れるので、かりに１〜ｎまでの数をｋとして、
ｎ！＋ｋは、ｋで割り切れる。

以上により、示された。

　『１１１・・』へ

　数学の部屋へもどる