『(１-ｘ)(１-ｘ^2)・・(１-ｘ^(n-1))』

『(１-ｘ)(１-ｘ²)・・(１-ｘ^n-1)』解答

◆大阪府　ＣＨＥＣＫさんからの解答。

方程式ｚⁿ＝1の相異なるｎ個の複素数解を
ω，ω²，･･･，ω^n-1，ωⁿとする。
ただし，ω≠1，ωⁿ＝1である。

すると，

ｚⁿ－1
＝(z－1)(z^n-1＋z^n-2＋･･･＋z＋1)
＝(z－ω)(ｚ－ω²)･･･(ｚ－ω^n-1)(ｚ－ωⁿ)

が恒等的に成り立ち，z－1＝ｚ－ωⁿより

(z－ω)(ｚ－ω²)･･･(ｚ－ω^n-1)＝z^n-1＋z^n-2＋･･･＋z＋1

となる。

これにｚ＝1を代入すると

（左辺）＝(1－ω)(1－ω²)･･･(1－ω^n-1)
（右辺）＝1＋1＋1＋･･･＋1＝ｎ

となり，(1－ω)(1－ω²)･･･(1－ω^n-1)＝ｎが成り立つ。

これは題意の方程式と一致するので，求める解は実数でない1のｎ乗根である。

ｘ＝cos( 2ｋπ
ｎ )＋ｉsin( 2ｋπ
ｎ )
　（ｋ＝1，2，3，･･･，ｎ－1）

（感想）

ｎ乗根恒等式を使う有名問題ですね。
この恒等式から色々な図形の定理が得られます。

◆神奈川県　いわしさんからのコメント。

ＣＨＥＣＫさんの解答にコメントします。

ω=e^2kπi/n (k=1,2,…,n-1) とするとき、

「ω,ω²,…,ωⁿ が zⁿ-1=0 …(1) の相異なる解となる」…(*)

とは限りません。

例えば、n=6 のとき

α=e^2πi/3 は(1)の解ですが、α³=1 ですから、
α⁴=α, α⁵=α², α⁶=α³ です。

(*) が成立するためには、k と n は互いに素でなければなりません。
すなわち、n より小さく n と互いに素な自然数の個数をφ(n) とおくと

n=(1-x)(1-x²)…(1-x^n-1) …(2)

は、φ(n) 個の解 x=e^2kπi/n を持ちますが、

(2) は n(n-1)
2 次方程式なので、解はこれだけではありません。

例えば n=3 のとき、x=2 も (2) の解です。

◆大阪府　ＣＨＥＣＫさんからのコメント。

確かに方程式の解はこれだけではないですね。
次数のことをすっかり忘れてました。
ですから問題１の答えになります。
問題２は別の考えが必要みたいですね。