『逆フィボナッチ数列』

【問題１】

数列{ｆ(ｎ)}を以下のように定義する。

ｆ(ｎ＋２)＝｜ｆ(ｎ＋１)－ｆ(ｎ)｜　（ｎ＝１，２，･･････）

このとき，ｆ(１)，ｆ(２)がともに有理数ならば
ｆ(ｋ)＝０を満たす自然数ｋが必ず存在することを示せ。

【問題２】

ｐ，ｑは２００＜ｑ＜ｐ＜２０００を満たす整数とする。

問題１の数列{ｆ(ｎ)}について，
ｆ(１)＝ｐ，ｆ(２)＝ｑのとき
ｎ＝１８で初めてｆ(１８)＝０となった。

このような（ｐ，ｑ）の組を１つ求めよ。