◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
０，１，３，３，４，４，４，７，８・・・
となり、（１）と同じになります。
【問題２】
数列ｃn と 数列ａn が一致します。
【問題３】
数式での証明はうまく書けませんが、以下のような考え方で、どうでしょうか。
例えば
ａn＝｛０，１，３，３，４，４，４，７，８・・・｝のとき、
縦横無限に長いマス目上に、１行目から
０，１，３，３，４，４，４，７，８・・・ を○の数で表します。
○の入らなかった部分には●を入れます。
１２２４７７７８ ０：●●●●●●●● １：○●●●●●●● ３：○○○●●●●● ３：○○○●●●●● ４：○○○○●●●● ４：○○○○●●●● ４：○○○○●●●● ７：○○○○○○○● ８：○○○○○○○○このとき、１列目から、●の数を数えると、１，２，２，４，７，７，７，８・・・になります。
また、同じ操作で、●の数列から、○の数列を作ることができます。
従って、ある増加数列に「ｎより小さい値をとる項の個数を数える」を２回行うと、元の数列になります。
【コメント】
なるほど、図に書くとわかりやすいですね。
ちなみにこの関係はＤ．ゲールが発見したものだそうです。