◆富山県 いくまる さんからの解答。
与えられた不等式の右辺をF(n)おく。素数pについて考えると、
S(pk) = 1+p+p2+‥+pk
となるので、
F(pk)= pk / (1+p+p2+‥+pk)
ここで、
Δ = F(pk+1) −F(pk)
とおくと、
Δ = -pk /(1+p+‥+pk)({1+p+p2+‥+pk+1)
よりΔ＜0であるから、F(pk)はkの増加に対して単純減少である。
また、F(pk)を整理すると、
F(pk) = (1-1/p)/(1-1/pk+1)
となる。nは任意の自然数であるから、kはいくらでも大きく取ることが出来る。
F(pk)→1-1/p (as k→∞)
すなわち、素数のk乗の数を考えると、F(pk)はkの増加に対して単純減少であり、
1-1/pに収束していく(★)。
また合成数n
n=p1m1・p2m2・‥・psm_s
(p1,p2,‥, psは素数)
について考えると、
S(n)= (1+p1+p12+‥+p1m1)・(1+p2+p22+・・+p2m2)・・{1+ps+ps2+‥+psm_s}
であるから、F(n)=F(p1m1)・F(p2m2)・・F(psm_s)
ｎは任意の自然数であるから、m1,m2,‥,m_sはいくらでも大きく取る事が出来る。
ここで★より、F(n)はm1, m2, ‥,m_sの増加に対して単純減少であり、
F(n)→(1-1/p1)・(1-1/p2)・・(1-1/ps)
(as m1, m2,‥,m_s→∞)
よって c=Π(1-1/p) (pはすべての素数)とすれば良い。
ん〜、何かうそ臭いなー。
何か問題があると思うんだけれどな〜。
間違ったことはしていないと思うんだけれども、どうなんでしょうか?
しかも最後の答えも怪しいなあ。
1-1/pは常に1より小さいので、0に近づいていくような気もしますし、pが大きくなると、1-1/pは1に近くなっでいくので、ある数に収束していくような気もするし、、、
でも素数は無限に存在する訳だし、、、、、誰か助けてください。
◆東京都 Asami さんからの解答。
p,q,r……は異なる素因数とする。
n＝pa-1・qb・rc……
n'＝pa・qb・rc……
のとき、
n'/Ｓ(n')＜ｎ/Ｓ(n)となっている(狭義単調減少列)。
そこでｎの異なる素因数p,q,r…,uが固定されていて、p以外の素因数に関しては指数も固定しておき、
(大ざっぱに言って素因数の種類が指定されているような任意のｎを持ってくる)
ｎ/Ｓ(n)＝{pa/1+p+…+pa}・Ａとおけば、
任意のaに対して
Ｃ≦{pa/1+p+…+pa}・Ａでなければならないから、
Ｃ≦Lima→∞{pa/1+p+…+pa}・Ａつまり
Ｃ≦(1−(1/p))・Ａである。-------★
★のような不等式は、q以降の素因数および指数がどのように固定されていても成り立っているから、Ａの中でq以降の素因数に関しては素因数も指数を固定しておいたものに対しても成り立たなければならない。
固定されたq以降の式をＢと書くことにすれば、
Ｃ≦(1−(1/p))(1−(1/p))・Ｂである。-------★★
以下同様にして、順次極限を取れば
Ｃ≦(1−(1/p))(1−(1/q))・……・(1−(1/u))となっている。
最後に素因数を無限に飛ばせばよい。ある正の定数αで
≦(1−(1/p))(1−(1/q))・……・(1−(1/u))→α (as u→∞)
従ってＣ≦αであることがわかる。
また逆に、任意のｎに対してα≦ｎ/Ｓ(n)であるから
(∵ｎを素因数分解してｎ＝pa-1・qb・rc・…・uvと書けたとすれば、
α＜(1−(1/p))(1−(1/q))・……・(1−(1/u))＜ｎ/Ｓ(n))
従って求める最大値Ｃはαである。………【答え】
Ｐ.Ｓ.
部分において、この収束値はどうやって求めるのか忘れてしまいましたが、もし０になるとすれば、求める値は０になります。
◆東京都 兼縣けめ丸 さんからの解答。
| Π p | (１−ｐ-s)＝ | １ ――――― ζ（ｓ） |
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答。
結論から言うと、c=0です。
それを示すには、次を示せば十分です。
ただし、慣用上σ(n)=S(n)とおきます。
命題1.1. 次の等式が成り立つ:
(1.1)
| limsup n→∞ | σ(n) ―――― n | =∞ |
これを示すために、次の事実を用います。
命題1.2. p1=2,p2=3,p3=5,...を素数の列とすると、次が成り立つ:
(1.2)
| ∞ Π r=1 | (1+ | 1 ―― pr | )=∞ |
証明は、例えば下記の文献[1]を参照してください。
では、これを用いて命題1.1を示しましょう。
証明(命題1.1).
p1=2,p2=3,p3=5,...を素数の列とし、
nr=p1...prとおく。
まず、σ(n)は(数論的関数として)乗法的であるから、
σ(nr)=σ(p1)...σ(pr)=(1+p1)...(1+pr).
したがって、
| σ(nr) ―――― nr | =(1+ | 1 ――― p1 | )...(1+ | 1 ――― pr | ) |
r→∞とすれば、(1.2)より次を得る。
(1.3)
| lim r→∞ |
σ(nr) ―――― nr | =∞ |
このとき、
| lim r→∞ |
nr=∞ |
に注意すれば、(1.3)より(1.1)が従う。q.e.d.
命題1.1が出てきたついでに、次の値を求めて比較すると面白いかも知れません。
(1)
| limsup n→∞ | σ(n) ―――― n |
| liminf n→∞ | σ(n) ―――― n |
(2)
| limsup n→∞ | φ(n) ―――― n |
| liminf n→∞ | φ(n) ―――― n |
(3)
| limsup n→∞ | σ(n)φ(n) ―――――― n2 |
| liminf n→∞ | σ(n)φ(n) ―――――― n2 |
ただし、φ(n)はEulerの関数です。
REFERENCE
[1] 杉浦光夫、「解析入門I」、東京大学出版会、1980, pp.391-393