◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
一般項は
Ａ(n)＝ｎ！
平方数は、Ａ(1)＝１のときだけです。
答え １。
◆東京都 千葉 英伸 さんからの解答。
素数についての定理を認めた上での議論ですが・・・
（もちろん、この素数の基本定理は正しいんですが）
ｎ≧３のとき、
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ｎ ―― ２ | とｎとの間には必ず素数が存在します。 |
これ、ちょっと変えてありますが、誰の定理っていうんでしたっけ？
たぶん内容は間違っていないと思うんですが？
その素数をｐとすると、
ｎ＜２ｐなので、
ｎ！＝１×２×３×・・・×（ｎ−１）×ｎ
の因数として、ｐは１つしかありません。
従って、ｎ≧３のとき、ｎ！は平方数ではあり得ません。
２！＝２でこれも平方数ではないので、
平方数となるのは、１！＝１だけです。
ひょっとして、上の定理を証明することが問題の主旨なのかな？
だとしたら、とても私の手には負えません。
【コメント】
これってチェビシェフの定理ですよね？
ｍ≧２のとき、
ｍ＜ｐ＜２ｍを満たす素数ｐが存在する。
ということで、
ｎ≧４のとき、
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ｎ ―― ２ | とｎとの間には必ず素数が存在します。 |
もちろんｎ＝３もＯＫです。
この証明は大変ですね。