数学の部屋へもどる◆神奈川県 みき ひろひと さんからの解答
【問題１】
できない
３種類の品物の合計が２５コということは、それらの品物の個数は
「奇数、偶数、偶数」もしくは「奇数、奇数、奇数」となる。
よって買い物の合計金額は奇数となるので、５０円玉でおつりがない買い物はできない。
【問題２】
６９秒後
下がって・跳んで・じっとしての１サイクルが８秒間。
１サイクルの移動距離が５０センチ。
棒への到達が、８サイクル＋下がった時であるから、
８×８＋５＝６９．
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
１円の品物をＸ個、３円の品物をＹ個、５円の品物をＺ個買ったとする。
また５０円玉をＮ個持っているとする。
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝２５．．．．．，．．．．．．．．．．１）
Ｘ＋３Ｙ＋５Ｚ＝５０Ｎ．．．．．．．．．．．．．２）
２）−１）整理する。
２（Ｙ＋２Ｙ）＝５＊５（２（Ｎ−１）＋１）．．．３）
３）式の左辺は２の素因数を持たない。
したがって、３）式を満たすＹ，Ｚ，Ｎは存在しない。
１），２）式を満たすＸ，Ｙ，Ｚ，Ｎは存在しない。
答え 出来ない。
【問題２】
５＋１＋２＝８
８秒で５０ｃｍバックする。
８＊８＝６４
６４秒で４ｍまでバックする。
８＊８＋５＝６９
答え ６９秒
【問題３】
５０×５０マスのなかに２５×２５マスは２６＊２６個とれる。
これらがすべて２６以上であるとすると、問題の条件に反する。
したがって２５以下の２５×２５マスがある。
【問題４】
３０＋２０−１＝４９
最大で４９個のマスしか通らない。
対角線の場合
３０＋２０−Ｇ．Ｃ．Ｍ（３０，２０）＝５０−１０＝４０横Ｘ ３０マス 縦Ｙ ２０マス とする。
左下の角から、右上の
２９＜Ｘ＜３０ または １９＜Ｙ＜２０と結んでも５０個は不可能である。
答え 不可能。
◆石川県 迷える羊 さんからの解答。
【問題１】
奇数額の硬貨を奇数枚集めたら、合計金額は必ず奇数になる。
よって、不可能。
【問題２】
カモの動きの周期は８秒間で、８秒間で５０ｃｍ後に下がっている。
８周期（６４秒）後に、４ｍの位置から５秒間で１ｍ後ずさりして、初めて棒にたどり着く。
６９秒。
◆石川県 平田和弘 さんからの解答
【問題１】
1円の品物をx個、3円の品物をy個、5円の品物をz個すべて50円玉で買えたと仮定すると、
x＋3y＋5z＝50・w (wは自然数)・・・(1)
x＋y＋z＝25・・・・・・・・・・・(2)
(1)−(2) より
2(y＋2z)＝25(2・w−1) で、
2と25は互いに素であるので
(2・w−1)が2で割りきれなければならないが、
(2・w−1)は奇数であるので2で割りきれないので仮定に矛盾する。
以上より、おつりがないようにすることはできません。
【問題２】
1ｍ後ずさりし、前に50cmジャンプして2秒間じっとしているのを1サイクルと考えて、
(1)1サイクルに月50cmずつ後ろに下がる。所要時間8秒間
(2)最後は4m後ろのところから1m後ずさりした時点で5m後ろの棒のところまで来る。
(1)より、4÷0.5＝8サイクルで4m後ろのところまで来る。
この間の所要時間は8×8＝64秒
(2)より、1m後ずさりするのに要する時間は5秒間
以上より、5m後ろの棒のところまで来るのは
64＋5＝69(秒後)となります。
【問題３】
背理法で示します。
和の絶対値が25以下の25×25の四角形が存在しないとします。
即ち、すべての25×25の四角形の和の絶対値が26以上だとします。
(和がマイナスのときも同様なのでプラスのときのみ考えます。)
ある25×25の四角形の和をSとして、
S≧26と仮定します。
この四角形を上下左右どちらでも1行(または列)移動したとしてこのときの和の絶対値をS'とします。
このとき1行(列)最大に増えて25で、また1行(列)最大に減って−25なので、最大に増えても50で、最大に減っても−50となります。
従って、S−50≦S'≦S＋50 より、
S≧26を考えて、−24≦S'≦100で、
最初の仮定
(すべての25×25の四角形の和の絶対値が26以上)より
S'≧26となります。
要するに、S'≦−26とはなりません。
よってすべての25×25の四角形の和で≧26となるので、元の正方形での和を考えれば
元の正方形での和 ＝ある25×25の四角形の和S(1)＋ある25×25の四角形の和S(2)＋ある25×25の四角形の和S(3)＋ある25×25の四角形の和S(4) ≧26＋26＋26＋26 ＞100となり元の正方形の和の絶対値が100であることに矛盾します。
◆補足
和≦-26 として仮定しても、
S−50≦S'≦S＋50 より、S≦-26を考えて、
−100≦S'≦24で、最初の仮定
(すべての25×25の四角形の和の絶対値が26以下)より
S'≦-26となります。
要するに、S'≧26とはなりません。
ということで同様に示せます。
【問題４】
50個のマス目を通るように引こうとすると、縦20本、横30本の線と交わって、かつ交点座標が整数とならないようにしなければならない。
しかし、このとき20と30は互いに素ではないので交点座標が整数とならないようにはできません。
(現実的に10個の座標が整数でマス目の交点として除かれます。)
またその他の引き方をすると交わっている本数が縦＋横＜50なので引けません。
以上より不可能です。
◆神奈川県 ひーぽん さんからの解答。
【問題１】
できない・・と思うのですが・・
どの品物も最低1個は買うとすると、
金額が最高になるのは1*1+3*1+5*23=119円
一番安いのは1*23+3*1+5*1=31円の時です。
従って50円玉何枚かでおつりが出ないように払うには、全体の金額を50円か100円にしなければなりません。
さて、最高額の119円の場合、5円の品物を 1円または3円の品物に取り替えて全体の金額を下げていきますが、1と3と5では、（全部で25個という数は変えられないので）どう組み合わせても差が偶数になってしまうため、奇数である119を偶数の50または100にすることはできません。
最低金額の31円を上げていく場合も同じで、奇数の31に偶数を足して50または100にする事はできません。
【問題２】
子ガモ君は5秒で1m下がり、1秒で50cm前に飛び、2秒間あたりの様子をうかがう（でしたっけ？）ので
4mさがるのに8秒*（4m/05m）=64秒かかります。
次の5秒でまた1m下がるので、最初の場所から5mうしろに下がるのには、
64秒+5秒=69秒かかります。
【問題４】
0*30のマス目のあるグラフ用紙（なんて懐かしい響き！）の中で、一番距離が長いのはグラフ用紙全体の対角線ですが、この場合通るマス目は40個です。
『対角線の秘密』によれば、縦と横のマス目の公約数が『1』しかない場合に、対角線の通るマス目が最大になるようなので、20*30のグラフ用紙のなかでは
19*30または20*29の場合の対角線が最大ということになります。
この場合、対角線の通るマス目の数は
（縦-1）+（横-1）+1
ということなので、
19*30の時は（19-1）+（30-1）+1=48
20*29の時は（20-1）+（29-1）+1=48となります。
公約数が『1』しかない長方形はいくつもありますが、あとはいずれも上記の2つより小さいため、必然的に対角線も短くなり、50個のマス目を通る直線はありえない、ということになります。
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