数学の部屋へもどる◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
(1,2,5)(1,5,2)(2,1,5)(2,5,1)(5,1,2)(5,2,1) (1,7,9)(1,9,7)(7,1,9)(7,9,1)(9,1,7)(9,7,1) (2,3,8)(2,8,3)(3,2,8)(3,8,2)(8,2,3)(8,3,2) (2,6,7)(2,7,6)(6,2,7)(6,7,2)(7,2,6)(7,6,2) (3,4,6)(3,6,4)(4,3,6)(4,6,3)(6,3,4)(6,4,3) (4,7,8)(4,8,7)(7,4,8)(7,8,4)(8,4,7)(8,7,4) (5,6,9)(5,9,6)(6,5,9)(6,9,5)(9,5,6)(9,6,5)以上４２通り。
【問題２】
同じ行または列の順列。
(1,2,3)(1.3,2)........(3,2,1) ........... (3,6,9)(3,9,6)........(9.6.3)６×３！＝３６
以上３６通り。
【おまけ１】
初期状態から現在に至った手順の逆手順をとればよい。
したがって必ず出来る。
【おまけ２】
１）
A1 XOR A2 XOR A3=1 AND A4 XOR A5 XOR A6=1 AND A7 XOR A8 XOR A9=1 AND A1 XOR A4 XOR A7=1 AND A2 XOR A5 XOR A8=1 AND A3 XOR A6 XOR A9=1または
２）
A1 XOR A2 XOR A3=0 AND A4 XOR A5 XOR A6=0 AND A7 XOR A8 XOR A9=0 AND A1 XOR A4 XOR A7=0 AND A2 XOR A5 XOR A8=0 AND A3 XOR A6 XOR A9=0１）または２）の場合は可能でそれ以外の場合は不可能。
同じことですが、次の表現の方が簡単だと思います。
赤 ０ 緑 １ としたとき、
A1-A9は０か１とする。
A1+A2+A3
=A4+A5+A6
=A7+A8+A9
=A1+A4+A7
=A2+A5+A8
=A3+A6+A9
=K
Kは０，１，２，３となる。
Ｋ＝０ すべて赤 (初期状態)
Ｋ＝３ すべて緑 (問題２)
Ｋ＝１ 奇数回で可能。(問題１のような場合)
Ｋ＝２ 偶数回で可能
上記以外は不可能。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
１，２，５
【問題２】
１，２，３
【おまけ１】
操作は交換可能である.
単一の操作は、同一操作の再操作で、元に戻すことができる。
従って、作成時と同じ操作手順を実施することにより、元に戻すことが出来る。
【おまけ２】
不可能な場合がある。
下記に判定方法の１つを示す。
| いずれかの ２×３マス（縦横上下４個）中の緑セルが奇数個であると き、不可能である。 |
∵ ２×３マス内のセルを中心とする操作により,そのマス中の４個が反転する。
２×３マス外のセルを中心とする操作により,そのマス中の２個が反転する。
何れの場合も、反転するセルは偶数個であり、初期状態に於いて緑セルが奇数個であると、０（偶数）個にすることはできない。
なお、２×３マスとして、中央列（行）を除いたものにも、同じことが言えるが、不可能の判定に関しては、
いずれかの一体型の２×３マスに必ず兆候が現れるので、考慮不要である。
【Ｐ．Ｓ】
おまけの判定方法は多分「必要十分条件」です。
◆宮城県 ohmi さんからの解答
【問題１】
この問題はクリックする順序は関係ありません。
(1,2,5)
(1,7,9)
(2,3,8)
(2,6,7)
(3,4,6)
(4,7,8)
(5,6,9)
の組合せでクリックすれば、最小手順3回で初期状態に戻すことができます。
【問題２】
(1,2,3)
(4,5,6)
(7,8,9)
(1,4,7)
(2,5,8)
(3,6,9)
の組合せでクリックすれば初期状態になります。
【おまけ1、2】
「初期状態から任意のマスを何回かクリックした後の状態」からは、その押した任意のマスを同じ回数だけクリックすれば初期状態に戻ります。
だから、必ず初期状態には戻せます。
この問題はマスを選ぶ順番は無関係だからです。
というだけなのも淋しいので…
ボタンを何回かクリックしてできるパターンは全部で12種類あります。
これを3つのグループに分けます。
（回転させれば同じになるものはひとつと数えます。）
初期状態に
(1)グループ
（■：赤、□：緑）
(a) (b) (c) □□□ □□□ ■□■ □■■ ■□■ □□□ □■■ ■□■ ■□■(2)グループ
(d) (e) (f) (g) (h) ■■■ ■■■ □■□ ■□□ ■□□ ■□□ □■□ ■■■ □■□ □□■ ■□□ □■□ □■□ □□■ □■□(3)グループ
(i) (j) (k) □■■ □■■ □□□ ■□■ ■■□ □□□ ■■□ ■□■ □□□これに初期状態を加えて12通りです。
さて、(a)(b)(c)から初期状態までは明らかに一回でもどせます。
あとは…
(2)グループ
(d)は一回で(a)(b)に変換可能。
(e)は一回で(a)(b)(c)に変換可能。
(f)は一回で(b)に変換可能。
(g)は一回で(a)に変換可能。
(h)は一回で(a)(b)(c)に変換可能。
(a)(b)(c)に変換してからは一回で初期状態に戻ります。
すなわち、これらは最低2回で初期状態に戻ります。
(3)グループ
(i)は一回で(d)(e)(g)(h)に変換可能。
(j)は一回で(d)(e)(g)に変換可能。
(k)は一回で(d)(e)(f)(g)(h)に変換可能。
1回で(2)グループに変換可能ですので、そのあとは(2)グループに従います。
すなわち、これらは最低3回で初期状態に戻ります。
よって、初期状態から任意のマスを何回かクリックした後の状態からは、必ず初期状態には戻せます。
>>>>>おまけ１
また、初期状態から出発したものは上に挙げた12通りのパターンの間で変化します。
すなわち、上の状態からどこのマスをクリックしたとしても
初期状態か(a)〜(k)のどれかになります。
したがって、これらのパターンの中で変化するだけであり、このほかのパターンにはなりません。
これは、上の12パターン以外の状態からは初期状態には戻らないことを意味します。
>>>>>おまけ2
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