『割り切れる？ Part4』解答

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

【問題１】

１＜ａ＜ｂ＜ｃ＜d　としても一般性はそこなわれない。

　ａｂｃｄその商
１）２３８１２１１，７，２，１
２）２４５１０９，４，３，１
３）２６１４２１２０，６，２，１
４）３４６１２７，５，３，１
５）３４１２１８１１，８，２，１
６）３６１６２４１５，７，２，１
７）３１２２８４２２７，６，２，１
８）４６９１８　
９）４９２４３６　
10）４１２１５３０　

イ）
　ｃ | ｄ+ａ+ｂ-1　商２
　ａ+ｂ+ｃ-1=ｄ

ロ）
　ｃ | ｄ+ａ+ｂ-1　商３
　ａ+ｂ+ｃ-1=ｄ

イ）、ロ）の２つのパターンが予想されます。
ａ,ｂ,ｃ,ｄ　をｍ、ｎを使って表現出来ると思います。
計算が煩雑なので省略します。
結論としていくらでもあると思われます。

２８，３６，６３，１２６　商８，６，３，１

【問題２】

ａ,ｂ,ｃが奇素数であれば　(ａ+ｂ+ｃ-1)は偶数になり、ｄは素数でありえない。
したがって、題意を満たすものがあるためにはａ=2でなくてはならない。

ａ=2，m1，m2は自然数とする。

イ）の場合
ｂ+ｃ+ｄ-1=2m1...........1)
ｃ+ｄ+1=ｂm2...........2)
ｄ+ｂ+1=2ｃ...........3)
ｂ+ｃ+1=ｄ 　..........4)
ｂ=2(m1+1)
m2+1
ｃ=m1m2-m1-2
m2+1

ｄ=m1+1

m1は偶数、m2は奇数でなくてはならない。

ｄ+ｂ+1
=m1+2+2(m1+1)
m2+1
=m1m2+3m1+2m2+3
m2+1
=2m1m2-2m1-4
m2+1

m1m2+3m1+2m2+3
=2m1m2-2m1-4

m1m2-5m1-4m2=7

(m2-5)m1=4m2+7
m1=4m2+7
m2-5

分子は奇数、分母は偶数。
したがってm1は自然数になりえない。

ロ）の場合
m1=2m2+9
2(m2-3)

同様にm1は自然数になりえない。
よって、題意を満たす素数の組みは存在しない。

答え　存在しない。

◆京都府　the king of water gate　さんからの解答。

清川　育男さんの解答について
１＜ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄを満たすものは３３個しかありません。

予想のイ）では
ｍ１＝２ｍ２＋８
ｍ２−５		で
３）と４）からｄ＝３（ｂ＋１）となるのでｄは素数でなく、

ロ）では
ｍ１＝ｍ２＋５
ｍ２ −３		で
ｄ＝２（ｂ＋１）となるのでｄは素数ではありません。

まず整数ａ，ｂ，ｃ，ｄで

ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄ≧０
ａ｜ｂ＋ｃ＋ｄ−１
ｂ｜ａ＋ｃ＋ｄ−１
ｃ｜ａ＋ｂ＋ｄ−１
ｄ｜ａ＋ｂ＋ｃ−１

となるものを求める。

ｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ−１とすると、
ａ｜ｅ，ｂ｜ｅ，ｃ｜ｅ，ｄ｜ｅとなるので
ａｐ＝ｂｑ＝ｃｒ＝ｄｓ＝ｅとなる整数ｐ，ｑ，ｒ，ｓがある。

ｄ＝０とするとｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ−１＝０となるので、
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（１，０，０，０）となる。

０＜ｄとする。
０＜ｅなのでａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝ｅ＋１をｅで割って、

１
ｐ		＋１
ｑ		＋１
ｒ		＋１
ｓ		＝１＋１
ｅ

１≦ｐ≦ｑ≦ｒ≦ｓ≦ｅ

（Ａ）１
ｐ		＋１
ｑ		 ＋１
ｒ		＝１＋１
ｅ		−１
ｓ		≦１
（Ｂ）１＜１
ｐ		＋１
ｑ 		＋１
ｒ		＋１
ｓ

（Ａ）より１＜ｐ、（Ｂ）よりｐ＜４

ｐ＝２のとき
　　（Ａ）より２＜ｑ、（Ｂ）よりｑ＜６

　　ｑ＝３のとき
　　　　（Ａ）より６≦ｒ、（Ｂ）よりｒ＜１２

　　ｑ＝４のとき
　　　　４≦ｒ、（Ｂ）よりｒ＜８

　　ｑ＝５のとき
　　　　５≦ｒ、（Ｂ）よりｒ＜２０／３

ｐ＝３のとき
　　３≦ｑ、（Ｂ）よりｑ＜９／２

　　ｑ＝３のとき
　　　　３≦ｒ、（Ｂ）よりｒ＜６

　　ｑ＝４のとき
　　　　４≦ｒ、（Ｂ）よりｒ＜２４／５

よって

（ｐ，ｑ，ｒ）＝
（２，３，６），（２，３，７），（２，３，８），（２，３，９），
（２，３，１０），（２，３，１１），（２，４，４），（２，４，５），
（２，４，６），（２，４，７），（２，５，５），（２，５，６），
（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（３，４，４）
となる。

（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，３，６），（２，４，４），（３，３，３）のとき
ｃ＝ｔとすると、

１
ｐ		＋１
ｑ		＋１
ｒ		＝１
なので、
ｓ＝ｅ＝ｒｔ，ｄ＝１，
ａ＝ｒｔ
ｐ		，ｂ＝ｒｔ
ｑ		となる。

（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）
＝（３ｔ，２ｔ，ｔ，１），（２ｔ，ｔ，ｔ，１），（ｔ，ｔ，ｔ，１）
（ｐ，ｑ，ｒ）≠（２，３，６），（２，４，４），（３，３，３）のとき

１
ｐ		＋１
ｑ		＋１
ｒ		＜１
となる。
ｍ
ｎ		＝１−（１
ｐ		＋ １
ｑ		＋１
ｒ		）

ｍ，ｎは正の整数とすると、

１
ｓ		−ｍ
ｎ		−１
ｅ		＝０

ｎｅ−ｍｓｅ−ｎｓ＝０
（ｎ−ｍｓ）（ｎ＋ｍｅ）＝ｎ２

ｐ｜ｅ，ｑ｜ｅ，ｒ｜ｅ，ｓ｜ｅ，（ｎ−ｍｓ）｜ｎ

２≦ｄの解
ｐｑｒｍｎｓｅａｂ ｃｄ
　２　３　７　１４２２１　　４２ 　２１　１４　　６　　２
　　　　　　　　　　２８　　８４ 　４２　２８　１２　　３
　　　　　　　　　　３５　２１０ １０５　７０　３０　　６
　　　　　　　　　　３６　２５２ １２６　８４　３６　　７
　　　　　　　　　　３９　５４６ ２７３１８２　７８　１４
　　　　　　　　　　４０　８４０ ４２０２８０１２０　２１
　　　　　　　　　　４１１７２２ ８６１５７４２４６　４２
　２　３　８　１２４１２　　２４ 　１２　　８　　３　　２
　　　　　　　　　　１６　　４８ 　２４　１６　　６　　３
　　　　　　　　　　１８　　７２ 　３６　２４　　９　　４
　　　　　　　　　　２０　１２０ 　６０　４０　１５　　６
　　　　　　　　　　２１　１６８ 　８４　５６　２１　　８
　　　　　　　　　　２２　２６４ １３２　８８　３３　１２
　　　　　　　　　　２３　５５２ ２７６１８４　６９　２４
　２　３　９　１１８　９　　１８ 　　９　　６　　２　　２
　　　　　　　　　　１２　　３６ 　１８　１２　　４　　３
　　　　　　　　　　１５　　９０ 　４５　３０　１０　　６
　　　　　　　　　　１６　１４４ 　７２　４８　１６　　９
　　　　　　　　　　１７　３０６ １５３１０２　３４　１８
　２　３１０　１１５１０　　３０ 　１５　１０　　３　　３
　　　　　　　　　　１２　　６０ 　３０　２０　　６　　５
　　　　　　　　　　１４　２１０ １０５　７０　２１　１５
　２　３１１　５６６１１　　６６ 　３３　２２　　６　　６
　　　　　　　　　　１２　１３２ 　６６　４４　１２　１１
　　　　　　　　　　１３　８５８ ４２９２８６　７８　６６
　２　４　５　１２０１０　　２０ 　１０　　５　　４　　２
　　　　　　　　　　１５　　６０ 　３０　１５　１２　　４
　　　　　　　　　　１６　　８０ 　４０　２０　１６　　５
　　　　　　　　　　１８　１８０ 　９０　４５　３６　１０
　　　　　　　　　　１９　３８０ １９０　９５　７６　２０
　２　４　６　１１２　６　　１２ 　　６　　３　　２　　２
　　　　　　　　　　　８　　２４ 　１２　　６　　４　　３
　　　　　　　　　　　９　　３６ 　１８　　９　　６　　４
　　　　　　　　　　１０　　６０ 　３０　１５　１０　　６
　　　　　　　　　　１１　１３２ 　６６　３３　２２　１２
　２　４　７　３２８　７　　２８ 　１４　　７　　４　　４
　　　　　　　　　　　８　　５６ 　２８　１４　　８　　７
　　　　　　　　　　　９　２５２ １２６　６３　３６　２８
　２　５　５　１１０　５　　１０ 　　５　　２　　２　　２
　　　　　　　　　　　８　　４０ 　２０　　８　　８　　５
　　　　　　　　　　　９　　９０ 　４５　１８　１８　１０
　２　５　６　２１５　６　　３０ 　１５　　６　　５　　５
　３　３　４　１１２　６　　１２ 　　４　　４　　３　　２
　　　　　　　　　　　８　　２４ 　　８　　８　　６　　３
　　　　　　　　　　　９　　３６ 　１２　１２　　９　　４
　　　　　　　　　　１０　　６０ 　２０　２０　１５　　６
　　　　　　　　　　１１　１３２ 　４４　４４　３３　１２
　３　３　５　２１５　５　　１５ 　　５　　５　　３　　３
　　　　　　　　　　　６　　３０ 　１０　１０　　６　　５
　　　　　　　　　　　７　１０５ 　３５　３５　２１　１５
　３　４　４　１　６　４　　１２ 　　４　　３　　３　　３

まとめると（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）は（１，０，０，０）と
ｔを１以上の整数として
（３ｔ，２ｔ，ｔ，１），
（２ｔ，ｔ，ｔ，１），
（ｔ，ｔ，ｔ，１）と
２≦ｄの解の表の５１個となる。

【問題１】

条件を満たすａ，ｂ，ｃ，ｄは存在する。
ａ，ｂ，ｃ，ｄを大きい順に並び替えたものを全てあげると、 

（　２１，　１４，　　６，　　２）
（　４２，　２８，　１２，　　３）
（１０５，　７０，　３０，　　６）
（１２６，　８４，　３６，　　７）
（２７３，１８２，　７８，　１４）
（４２０，２８０，１２０，　２１）
（８６１，５７４，２４６，　４２）
（　１２，　　８，　　３，　　２）
（　２４，　１６，　　６，　　３）
（　３６，　２４，　　９，　　４）
（　６０，　４０，　１５，　　６）
（　８４，　５６，　２１，　　８）
（１３２，　８８，　３３，　１２）
（２７６，１８４，　６９，　２４）
（　１８，　１２，　　４，　　３）
（　４５，　３０，　１０，　　６）
（　７２，　４８，　１６，　　９）
（１５３，１０２，　３４，　１８）
（　３０，　２０，　　６，　　５）
（１０５，　７０，　２１，　１５）
（　６６，　４４，　１２，　１１）
（４２９，２８６，　７８，　６６）
（　１０，　　５，　　４，　　２）
（　３０，　１５，　１２，　　４）
（　４０，　２０，　１６，　　５）
（　９０，　４５，　３６，　１０）
（１９０，　９５，　７６，　２０）
（　１２，　　６，　　４，　　３）
（　１８，　　９，　　６，　　４）
（　３０，　１５，　１０，　　６）
（　６６，　３３，　２２，　１２）
（　２８，　１４，　　８，　　７）
（１２６，　６３，　３６，　２８）
の３３個とｔを２以上の整数として （３ｔ，２ｔ，ｔ，１）である。

【問題２】

・解１

問題１の解よりａ，ｂ，ｃ，ｄの中で最大のものは素数でないので存在しない。

・解２

ｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ−１とすると、
ａ｜ｅ，ｂ｜ｅ，ｃ｜ｅ，ｄ｜ｅであり、
ａ，ｂ，ｃ，ｄは全て異なるので
ａｂｃｄ｜ｅとなり、ｅは正なので
ａｂｃｄ≦ｅとなる。

ａ，ｂ，ｃ，ｄの中で最大のものがａであるとする。

２×３×５×ａ≦ａｂｃｄ≦ｅ≦４ａ

となるので条件を満たすａ，ｂ，ｃ，ｄは存在しない。

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