◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
| A*B=( | A+B 2 | )2-( | A-B 2 | )2 |
条件より、A+B,A-B はともに偶数。
したがって、
| C= | A+B 2 |
| D=｜ | A-B 2 | ｜ |
【問題２】
Ｎが合成数なら、
Ｎ=k1*k2=k3*k4 となる
k1,k2,k3,k4が存在する。
A=k1+k2
B=|k3-k4|
C=|k1-k2|
D=k3+k4 としたとき
A2+B2=C2+D2 が成り立つ。
なぜなら、
(k1+k2)2+(k3-k4)2
=(k1-k2)2+(k3+k4)2
上式を展開して整理すると、
k1*k2=k3*k4
合成数は無限に存在するから、A,B,C,Dの組も無限に存在する。
たとえば、
4=1*4=2*2 → 52+02=32+42
6=1*6=2*3 → 72+12=52+52
8=1*8=2*4 → 92+22=72+62
9=1*9=3*3 → 102+02=82+62
10=1*10=2*5 → 112+32=92+72
◆兵庫県の高校生 オイラーの弟子のいとこ さんからの解答。
[問題１をとく前に]
二つの異なる正の奇数の積ab→abは必ず正の奇数になる
二つの異なる正の偶数の積ab→abは必ず正の4の倍数になる
これだけおさえておきます
【問題１】
＜a、bがともに正の奇数の場合＞
ｃ＝ｎ+1、ｄ＝ｎ（ただしｎは自然数）とおくと
ｃ2-ｄ2
＝（ｎ+1）2-ｎ2
＝ｎ2+2ｎ+1-ｎ2
＝2ｎ+1
よって連続した二つの自然数の平方数の差によって1以外の奇数を表すことができる
ただしa≠bよりab＝1はありえないので1があらわせなくても題意は成り立つ
＜a、bがともに正の偶数の場合＞
ｃ＝ｎ+2、ｄ＝ｎ（ただしｎは自然数）とおくと
ｃ2-ｄ2
＝（ｎ+2）2-ｎ2
＝ｎ2+4ｎ+4-ｎ2
＝4ｎ+4
＝4（ｎ+1）
よって差が2である二つの自然数の平方数の差によって4以外の4の倍数を表すことができる
ただしa≠bよりab＝4（a＝b＝2のとき）はありえないので4があらわせなくても題意は成り立つ
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
ａ＞ｂとします。
ａｂ＝ｃ2−ｄ2＝(ｃ＋ｄ)(ｃ−ｄ)より、
ａ＝ｃ＋ｄ
ｂ＝ｃ−ｄ
とおくと、和差算より
| ｃ＝ | ａ＋ｂ ２ |
| ｄ＝ | ａ−ｂ ２ |
となります。
特にａとｂがともに偶数、またはともに奇数の時、ｃ、ｄは、整数になります。
【問題２】
ある数が、異なる２つの偶数の積、または異なる２つの奇数の積で表され、しかも、その表し方が２種類以上あるとします。
| ※最も簡単な例は、奇数ａ、ｂに対して、その積ａｂは ａ×ｂ、１×ａｂ の２通りに表されます。 他にも、２×１２＝４×６ など、偶数でも作れます。 |
そのような組み合わせを
ｍ×ｎ＝ｐ×ｑ ｍ＞ｎ、ｐ＞ｑ
とすると、４つの整数を
| ａ＝ | ｍ＋ｎ ２ |
| ｄ＝ | ｍ−ｎ ２ |
| ｃ＝ | ｐ＋ｑ ２ |
| ｂ＝ | ｐ−ｑ ２ |
と決めると、
ｍ＝ａ＋ｄ
ｎ＝ａ−ｄ
ｐ＝ｃ＋ｂ
ｑ＝ｃ−ｂ
となり、
(ａ＋ｄ)(ａ−ｄ)＝(ｃ＋ｂ)(ｃ−ｂ)
が成り立ちます。変形して、
ａ2−ｄ2＝ｃ2−ｂ2
ａ2＋ｂ2＝ｃ2＋ｄ2
を得ます。
◆出題者の数楽家Ｃｒａｎｅ さんからのコメント。
皆さん、お見事です。
問題２の清川さんの解答にはもう１つ条件が要りますね。
ａ，ｂ，ｃ，ｄ は「自然数」と指定してありますので、０が発生しないような、しかも２通りに因数分解可能な合成数を選ぶ必要があります。
例えば、「３種類以上の素因数を持つ」とか「２種類でも少なくとも一方が２次以上」など。
もちろん１は素因数としてカウントしません。
網羅する事を要求していませんから、上のどちらかのみでもＯＫですね。