接線とx軸のなす角が特殊な場合を考える
60°の時を考える
このとき接線の傾きは
となるので
y=
x+fとして
y=x2に接するので
y=x2
y=
x+f
が重解を持つという条件から求めて
◆広島県の高校生 渡部 英治 さんからの解答。
【問題１】
音焦点Ｆとｘ軸について対称な所にＦ’をとり、ｘ軸に平行な線をひく…(1)
また、（１，０）を通りｙ軸と平行な線をひく…(2)
それぞれの交点を（１，-ｆ）とおく。
まず、（０，ｆ）と（１，-ｆ）を結ぶ直線の式を求める。
| （傾き）＝ | （ｙの増加量） （ｘの増加量） | より |
| （傾き）＝- | ２ｆ １ | より |
このとき、求めたい式（(4)とする）は、(3)を垂直に二等分する。
| (3)式の中点は、（ | １ ２ | ，０）であり、垂直に交わるので、 |
| 求めたい式(4)は、Ｙ＝ | １ ２ｆ | Ｘ＋ｂ…(4)と置ける。 |
また、(4)式は（１，１）を通る。
| よって、（ | １ ２ | ，０），（１，１）を代入して、連立すると、 |
| ｆ＝ | １ ４ | ，ｂ＝-１ が求まる。 |
よって、 Ｙ＝２Ｘ−１
【問題２】
| 問題１より、ｆ＝ | １ ４ | なので、（０， | １ ４ | ） |
【問題３】
放物線と接する直線(5)式が、（ｃ，ａｃ2）で接するとする。
（ただし、ｃ≠０）
| このとき、(3)式を書き直すと、Ｙ＝- | ２ｆ ｃ | Ｘ＋ｆとなる。 |
| (5)式を書き直すと、Ｙ＝ | ｃ ２ｆ | Ｘ＋ｄ…(5) |
| また、(5)式は、(3)式を（ | １ ２ｃ | ，０）で垂直に二等分し、 |
| ０＝ | ｃ ２ｆ | ・ | ｃ ２ | ＋ｄより、 |
| ｄ＝- | ｃ2 ４ｆ | …(6) |
| よって、(5)式は、ａｃ2＝ | ｃ ２ｆ | ・ｃ＋ｄ |
| ａｃ2＝ | ｃ2 ２ｆ | - | ｃ2 ４ｆ |
| ｃ≠０より、ｃ2≠０なので、ｆ＝ | １ ４ａ | となる。 |
また、ｃ＝０のとき、接線は、ｘ軸となり、Ｙ＝０となり、音焦点ｆは定まらない。
【感想】
この問題を解く際、物理で使用する、フェルマーの原理を参考にしたため、正攻法とは、いえないかも知れません（＾＾；）
そもそも、パラボナアンテナは、中学数学の内容なのか、疑問です（笑
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
【問題１】
接線が(1,1)を通ることから
y=ax+1-aとして
y=x2に接するので
y=x2，y=ax+1-a
が重解を持つという条件から求めて
y=2x-1
【問題２】
(音焦点を求めるだけなら）
接線とx軸のなす角が特殊な場合を考える
60°の時を考える
このとき接線の傾きはとなるので
y=x+fとして
y=x2に接するので
y=x2
y=x+f
が重解を持つという条件から求めて
| 接点は( | 2 | ， | 3 4 | )となり |
| y= | 1 | x+ | 1 4 |
| よって音焦点は(0, | 1 4 | ) |
【問題３】
問題２の方法と同様にして
接線の傾きがになるとき
| 接点は( | 2a | ， | 3 4a | )となり |
| y= | 1 | x+ | 1 4a |
| よって音焦点は(0, | 1 4a | ) |
◆東京都の中学校３年生 加俊 さんからの解答。
【問題１】
y=x2 における、 点Ａ(1,1) の接線を y=ax+b とおく。(1)
(1)の式に点Ａを代入すると、 a+b=1 (2)
ところで、
y=x2 と (1)の式を連立し、移項すると
x2-ax-b=0 となる。
| これを解くと、 x= | a±√(a2+4b) 2 |
ここで、接線だから、xの解は一個である。
よって√の中身は０にならなければならない。
a2+4b=0 (3)
さて、(2)と(3)を連立すると、
(2)より b=1-a だから、(3)に代入し、
a2-4a+4 = 0
(a-2)2=0 と因数分解できるので、 a=2
以上より b=-1 とわかる。
答．y=2x-1 …(4)
【問題２】
さて、音焦点Ｆを求めるには、反射させるために、(4)の直交式を求める必要がある。
その式を y=cx+d とすると、直交条件より、
| 2c=-1 だから、 c=- | 1 2 |
| 点Ａを代入すると、 d= | 3 2 |
| より、点Ａにおける(4)の直交式は、 y=- | 1 2 | x+ | 3 2 | (5) |
ところで、(4)と(5)のy軸との交点をＢ、Ｃとすると、
△ＡＢＣは∠Ａ＝９０°の直角三角形とわかる。(6)
さらに、点Ａを通るy軸に平行な線を引き、x軸側でない方の点をＤとする。
また、音焦点をＦとすると、
反射の条件より∠ＤＡＣ＝∠ＦＡＣ
錯角より∠ＤＡＣ＝∠ＦＣＡ
よって∠ＦＡＣ＝∠ＦＣＡとわかる。(7)
ここで、(6)、(7)より点Ｆは、△ＡＢＣの外心とわかる。
つまり、点Ｆは点Ｂと点Ｃの中心である。
| 点Ｂ(0,-1)、点Ｃ(0, | 3 2 | ) |
| の中心は、( | 3 2 | -1)/2= | 1 4 |
| 答．Ｆ(0, | 1 4 | ) |
【問題３】
y=ax2 における、点(p,ap2)の接線を求めると、
同様にして、y=2apx-ap2 （１）
これより切片Ｂは、-ap2 とわかる。
さらに、（１）の直交式を求めると、
| y=- | 1 2ap | x+ | 1 2a | +ap2 （２） |
| だから、切片Ｃは | 1 2a | +ap2 |
ＢとＣの中心が、fだから、
| f=( | 1 2a | +ap2-ap2)/2 = | 1 2a | /2= | 1 4a |
| 答． | 1 4a |