◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答。
●（ａ）に入れた場合
１秒経つと,１ｃｍ動く。
２倍速になった。
２秒経つと,１秒後から２ｃｍ動くから,
計１＋２＝３ｃｍ動く。
３倍速になった。
３秒経つと,２秒後から３ｃｍ動くから,
計１＋２＋３＝６ｃｍ動く。
４倍速になった。
４秒経つと,３秒後から４ｃｍ動くから,
計１＋２＋３＋４＝１０ｃｍ動く。
５倍速になった。
５秒経つと,４秒後から５ｃｍ動くから,
計１＋２＋３＋４＋５＝１５ｃｍ動く。
６倍速になった。
一般に,ｘ秒経つと,ｘ−１秒後からｘｃｍ動くから,
| 計１＋２＋３＋・・・＋ｘ＝ | ｘ(ｘ＋１) ２ | ｃｍ動く。 |
●（ｂ）に入れた場合
１秒経つと,１ｃｍ動く。
２倍速になった。
２秒経つと,１秒後から２ｃｍ動くから,
計１＋２＝３ｃｍ動く。
４倍速になった。
３秒経つと,２秒後から４ｃｍ動くから,
計１＋２＋４＝７ｃｍ動く。
８倍速になった。
４秒経つと,３秒後から８ｃｍ動くから,
計１＋２＋４＋８＝１５ｃｍ動く。
１６倍速になった。
５秒経つと,４秒後から１６ｃｍ動くから,
計１＋２＋４＋８＋１６＝３１ｃｍ動く。
３２倍速になった。
一般に,ｘ秒経つと,ｘ−１秒後から２x-1ｃｍ動くから,
計１＋２＋４＋・・・＋２x-1＝２x−１ｃｍ動く。
等差数列の和,等比数列の和が,身近な目に見えるものと結びつけて問題にされています。