ｓｉｎ（２×π／４）＝１
ｓｉｎ（３×π／４）＝
ｓｉｎ（４×π／４）＝０
ｓｉｎ（５×π／４）＝−
ｓｉｎ（６×π／４）＝−１
ｓｉｎ（７×π／４）＝−
ｓｉｎ（８×π／４）＝０
◆東京都 ＧＯＦＹ・和人さんからの解答。
博士：ふむ、おもしろい問題が出されておるのぉ。どうやって解こうかのぅ。
おお、まるでこの問題の為に創られたような数値があるではないか。
ｓｉｎ（１×π／４）＝
ｓｉｎ（２×π／４）＝１
ｓｉｎ（３×π／４）＝
ｓｉｎ（４×π／４）＝０
ｓｉｎ（５×π／４）＝−
ｓｉｎ（６×π／４）＝−１
ｓｉｎ（７×π／４）＝−
ｓｉｎ（８×π／４）＝０
つまり ｓｉｎ２π で１周するのじゃな。
長針Ｌは短針Ｓの１２倍の早さで回るから、針が重なる時刻を求めるには・・・・
助手：御茶飲み博士！
博士：何だね後夢君？ （あとゆめ君です。アトムと読まないで下さい）
助手：時計を３秒間観察したのですが、短針が１周する間に長針が１１回追い付き（追い越し）ます。
０時００分００秒０から始めて次に針が重なるのは １２／１１時間後、
つまり１時０５分２７秒２７２７２７２７２７２７・・・・
博士：もう良い。それで？
助手：角度にすると３９２．７２７２７２７２７２・・・・
博士：やめなさい。世界が終わるまで続ける気か？
助手：長針と短針がつくる角度の変化は１秒間に０．１０９０９０９０９０・・・
博士：はいはい。おまえは壊れた蓄音機か？いったい何桁まで計算したんじゃ？
助手：＊それぞれ４２８５７１万桁、５６億７千万桁、３６５２４２１９８７９桁ですが、どれも割り切れませんでした。
無理数なのでしょうか？
博士：（やれやれ、転馬博士も酔狂なものを創ったものじゃ）
（注：てんうま博士です。ドクター・テンマとは無関係です）
だからどうなのじゃ？
助手：ですから １２／１１ をＮ倍すれば針が重なる時刻になります。
小数点以下を６０倍すれば分に、更に小数点以下を６０倍すれば秒になります。
博士：なるほど、しかし針が左右対称になる時刻は簡単にゆかんぞ。
ええとｓｉｎＬπとｓｉｎＳπの符号が異なって絶対値が等しければ左右対称だから・・・
助手：博士！６時００分００秒を特別な場合として除外すると短針が１周する間に１３回針が左右対称になります。
０時００分００秒から始めて次に針が左右対称になるのは１２／１３時です。
これをＮ倍すれば・・・・
博士：なるほど。これも算数ときたか。
しかし針が直角になる時刻は算数では解けまい。
ｓｉｎπとｃｏｓπがちょうど９０゜の位相になるから・・・・
助手：博士！短針が１周する間に長針は２２回直角をつくります。
３時００分００秒から始めて次に直角をつくる時刻は１２／２２時間後になります。
これをＮ倍すれば・・・・
博士：なあ、後夢よ、おまえは数学問題を１０万馬力の算数で解いてしまうんじゃなぁ。
＊４２８５７１は１／７の循環部、５６億７千万（年）後に弥勒が再来するとされる。
３６５２４２１９８７９の３６５を整数部分にすると１年の日数になる。
助手：ところで博士、さっきこの時計を観察した時に気づいたのですが、この時計は短針が１周する間に３０秒遅れます。
博士：ゼンマイとテンプで動く骨董品にしては上出来じゃよ。実生活には支障無いからな。
助手：ええ？？ ７２０日に１回しか正確な時間を示しませんよ？
博士：また１０万馬力の算数か・・・
助手：動かない時計なら、短針が２回まわる間に２回、正確な時間を示します。
確率を計算するまでもなく動かない時計の方が正確です！
博士：・・・（天国の転馬博士！この１０万馬力の陽電子頭脳は何とかならないものかのぉ）
（ごめんなさい、天国の手塚治虫先生、Ｉ・アシモフ先生。笑って許して下さい）
【コメント】
動かない時計なら、１日に２回、正確な時間を示すけれども、
１日に１分ずつおくれる時計は７２０日に１回しか正確な時間を示さない。
だから動かない時計の方が正確！？
というのは、あの不思議の国のアリスのルイス・キャロルの得意の問題だったそうです。
ところで私は今日、宝塚の手塚治虫記念館に行って来ました。
これも何かのご縁でしょうか。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
まだ昼前で、酔っていなくてすみません。
【問題１】
短針と長針の速さの比は、１：１２。
１と１２は互いに素である。
重なる回数は、１２−１＝１１（回）。追いかける場合。
（「算数にチャレンジ」で学習しました。）
| ０時から | １２ １１ | 時間ごとに重なる。 |
イ）午前９時から午後１時３０分までに、
| 108 11 | 時, | 120 11 | 時, | 132 11 | =12時=0時, | 12 11 | 時 |
したがって、４回追い越す。
ロ）午後１時３０分から午後６時３０分までに、
| 24 11 | 時, | 36 11 | 時, | 48 11 | 時, | 60 11 | 時 |
したがって、４回追い越す。
【問題３、４】
0≦A≦11 対称になる時刻をＴ分後とする。
| 30×A+30× | T 60 | =360-360× | T 60 |
| T=60× | 12-A 13 |
| ・A=1のときT= | 660 13 |
| １時 | 660 13 | 分 |
| ・A〜A+1のとき、A時60× | 12-A 13 | 分 |
【コメント】
みごと正解です。
まだ昼なのに、酔っている自分が怖いです。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
ｈを「時」の数（ただし０≦ｈ＜１２）、
ｍを「分」の数（０≦ｍ＜６０）とし、
ｙを時計の針が「１２」の位置から時計回りに動いた角度とすると、
ｈ時ｍ分における長針の位置は ｙ＝６ｍ
同じく短針の位置は ｙ＝0.5ｍ＋30ｈ
というわけで、この二つの式から、長針と短針が重なるのは
| ｍ＝ | 60 11 | ｈを満たす時刻になります。 |
ｈの各値についてｍの値を計算していけばいいですね。
秒以下の単位を省略して書きますと、まず「お昼を食べるまで」は
9:49, 10:54, 0:00, 1:05 の４回。
次の「夕食を食べるまで」は
2:10, 3:16, 4:21, 5:27の４回。
（次は6:32になってしまいます）
【問題２】
Ａの時計は１日２回正しい時刻を指す。
Ｂの時計は・・・一度正しい時刻にあわせたら、次は７２０日後（厳密には「12時間分の遅れ」）では？？
※妻が「そんな時計は捨てちまえーー」と・・・（笑）
【問題３、４】
問題１の式を応用すると、
６ｍ＋(0.5ｍ＋30ｈ)＝360 になればいいわけですね。
| すなわち ｍ＝ | 720-60ｈ 13 | 。 |
というわけで、ａ時と(ａ＋１)時の間で左右対称になるのは
| ａ時 | 720−60ａ 13 | 分。 |
で、これで計算すると、１時と２時の間は１：５０（秒以下省略）に左右対称になります。
ちなみに、他の時刻（同様）はというと
0:55, 2:46, 3:41, 4:36, 5:32,
6:27,
7:23, 8:18, 9:13, 10:09, 11:04。
ところで、この式からは出てこないんですが、0:00というのも数えていいのでしょうか？