『南極探検Part2』解答

◆神奈川県　今村　義彦さんからの解答。

＠問題[1] 燃料６リットルで最大何Kmまで往復できるか。

答案：

燃料６リットルということは、燃料の補給が２回まで可能である。
そのうち、１回目は途中の補給基地に燃料を置いて来るための作業に使い、２回目は最終的にd(km)の地点まで行って帰って来ることに使う。

１回目においてスタート地点から燃料を置いてくる地点までの距離をd(2)(km)とし、２回目において途中の補給基地から最終ゴール地点までの距離をd(1)(km)とする。

すると

　d = d(2) + d(1) ................(1)

が成り立つ。
また、１回目と２回目の全走行距離は次式で表される。

　N = 2 * d(2) + 2 * {d(2) + d(1)}
　　= 4 * d(2) + 2 * d(1) ..........(2)

　6 = 4d(2) + 2d(1)

　3 = 2d(2) + d(1) .................(3)

さて、ここで各々の補給基地間では最大1.5kmまでしか走行できないので、次式の条件を当てはめる。

　0 < d(m) ≦ 1.5; m = 1,2 .........(4)

すると、d(1) = 1.5, d(2) = 0.75のときに(1)が最大値をもつ。

よって、
d = 0.75 + 1.5= 2.25

答え: 2.25km

＠問題[2] 燃料が 0 < N ≦ 3(liter)で何kmを往復できるか。

答案：

燃料の補給が１回のみであるから、単純に、

　d = N/2

答え：N/2(km)

＠問題[3] 燃料が 3 < N ≦ 6(liter)で何kmを往復できるか。

答案：

燃料の補給が２回であることから、問題[1]の式(1)(2)(4)が成立する。
式(2)を少し変形して、

　N = 3 + a ........................(5)

とおく。但し、0 < a ≦ 3である。
すると、式(2)は

　3 + a = 4d(2) + 2d(1) ............(6)

となる。
条件(4)の範囲で式(1)が最大値をとる場合は、d = 1.5(km)のときである。
よって、

　d = d(2) + d(1)
　　= (N - 2d(1))/4 + d(1)
　　= N/4 + d(1)/2
　　= N/4 + 3/4

＠問題[4] 燃料が 6 < N ≦ 9(liter)で何kmを往復できるか。

答案：

燃料の補給が３回であることから、次の様に考える。
つまり、２回(6liter)までの補給を行なう場合に関しての距離(d(2) + d(1))の最大値を保ちつつ、残りの 燃料は(N - 6)(liter)で新たな距離d(3)を走行し新たな燃料補給基地を確保する。

この距離d(3)を走行する回数は都合6回であるから、

　N - 6 = 6 * d(3)

が成り立つ。つまり、

　d(3) = (N - 6)/6 ...............(8)

よって、

　d = d(3) + d(2) + d(1)
　　= (N - 6)/6 + 3/4 + 3/2
　　= N/6 + 5/4

＠問題[5] 燃料が 9 < N ≦ 12(liter)で何kmを往復できるか。

答案：

前問題と同様に考えて、

　d = d(4) + d(3) + d(2) + d(1)
　　= (N - 9)/8 + 3/6 + 3/4 + 3/2
　　= (N + 13)/8

＠問題[6] 燃料が 3(m - 1) < N ≦3m {mは自然数}のとき、何kmを往復できるか。

答案：

与えられた燃料N(m)のときの最大の往復距離をA(m)とする。すると、

A(m) = {N(m) - 3(m - 1)}/2m + A(m-1)

という漸化式を得る。{ここで、m≧ 2}

mについて、2からmまでを足し合わせると、
A(1) = 3/2であるから、

A(m)= {N - 3(m - 1)}/2m + 3/2 * {1/(m-1) + 1/(m-2) + ..+ 1/2} + 3/2
　　= N/2m + 3/2 * {1/m + 1/(m-1) + 1/(m-2) + ..+ 1/2}

【コメント】

　最後の結果はなんとも美しいですね。
具体的な数値で確認してもらえばよいと思います。

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