◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
１）３リットル。まず１ｋｍ先の保存タンクに１リットル蓄えて、引き返す。
２）３リットル。１ｋｍ先まで行き、１リットル補充する。３リットルあるので３ｋｍ進める。
６リットルで４ｋｍ進める。
【問題２】
１ｋｍ先の保存タンクに１リットル蓄えるのに、３リットル必要。
２ｋｍ先の保存タンクに１リットル蓄えるのに、９リットル必要。
１ｋｍ進むごとに１リットル補充して進む。
３＋３＋９＝１５。
５ｋｍ進むのに１５リットル必要。（６＋９＝１５）
【問題３】
１ｋｍ先の保存タンクに蓄えるのに、３リットル。
２ｋｍ先の保存タンクに蓄えるのに、９リットル。
３ｋｍ先の保存タンクに蓄えるのに、２７リットル。
１ｋｍ進むごとに１リットル補充して進む。
３＋３＋９＋２７＝４２。
６ｋｍ進むのに４２リットル必要。（１５＋２７＝４２）
【問題４】
１ｋｍ ＞＞＞ １リットル
２ｋｍ ＞＞＞ ２リットル
３ｋｍ ＞＞＞ ３リットル
４ｋｍ ＞＞＞ ６リットル
Ｎ≧５ｋｍ ＞＞＞
| ６＋ | ９×(３N-4−１) ――――――――― ２ | ＝ | ３N-2＋３ ―――――― ２ |
これでは基地に戻れません。
【コメント】
問題１〜４とも正解です。
別解として、
ｎｋｍ先までに最小限必要な燃料をａnとして、
ａnの漸化式を作る方法もあります。
この方法は往復する場合にも使えます。
１ｋｍの地点にａn-1の燃料があればよいわけですから。
◆神奈川県 今村 義彦さんからの解答。
問題[1][2][3][4]は既に解答が出ているので、省略する。
ｎ(km)の地点にたどり着くために必要な燃料をＳ(n)とする。
これは、最終的にｎ(km)の地点についたときに、完全に燃料を消費していることを仮定している。
問題[5]では往復するための燃料の計算であるから、ゴール（ｎ(km))地点で燃料を完全に消費してしまってはいけない。
そのためには、たとえば(ｎ−２)km地点までの往路は燃料を補給して、残り２kmの往路を無補給で走行してｎ(km)の地点までいき、そこから残り１literを消費して(ｎ−１)kmまで復路として引き返す。
(ｎ−１)kmからスタート地点までの復路は、燃料を補給しながらスタート地点まで戻り、その時点では燃料を消費してしまっているというシナリオで考えればよい。
さて、上記の方法で計算すると、往路は１literの燃料を残すことになるので、Ｓ(n+1)の燃料を必要とする。
復路は、(ｎ−１)kmからスタート地点まで引き返してくるわけであるが、方向を逆に考えても等価である。
つまり、スタート地点から(ｎ−１)kmまでにたどり着ければよい。
この場合、必要な燃料はＳ(n+2)−３である。
往復では、
Ｓ(n+1) ＋ Ｓ(n+2) −３
| ＝ | ３n-1＋３ ――――――― ２ | ＋ | ３n＋３ ―――――― ２ | −３ |
| ＝２×３n-1 |
となる。
解答 ２×３n-1リットル
【コメント】
みごと正解です。
この燃料が最小であることの証明も容易にできますね。