◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【答え】
△ＡＢＣの頂点Ａ,Ｂ,Ｃより対辺に垂線を引き、垂線の足をそれぞれＥ,Ｆ,Ｄとすると、
△ＤＥＦが周長が最小な三角形です。
【証明】
図のように、３垂線は垂心Ｈで交わり △ＡＢＣを６つの三角形に分割しますが、
明らかに、Ｈに対して反対側にある３対の三角形同士は、２角が等しいため相似です。
ですから、∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃを２分しているそれぞれの角度は、図に示した関係にあります。
また、対角の和が１８０°なので、図の赤,黄,青の３つの四角形はどれも円に内接します。
各四角形のそれぞれの外接円において、同じ弧の張る円周角はすべて等しいので、
△ＤＥＦの各頂角を２分しているそれぞれの角度は、図に示した関係にあります。
すると、Ｈは△ＤＥＦの各頂角の二等分線の交点で、△ＤＥＦの内心です。
そこで、△ＡＢＣの各辺を鏡と考えると、△ＤＥＦの各辺は明らかに光の道筋です。
これ以外の光の道筋なら、三角形とはならず、
光の道筋に従わない三角形なら、『フェルマーの原理』に反するため最短な道筋ではありません。
よって、図に示した△ＤＥＦが、周長が最小な三角形です。
証明は終わりです。
【補足】
『フェルマーの原理』：光は所要時間が最少の道筋を採る。
◆出題者のコメント。
まず初めにお詫びをします。
問題を
鋭角三角形ＡＢＣの３辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上に、それぞれ点Ｄ、Ｅ、Ｆをとる。
このとき、三角形ＤＥＦの周が最小になるのは、どんなときでしょうか。
と、すべきでした。
３点Ｄ、Ｅ、Ｆが慣れている位置と違い、やりにくかったのではないでしょうか。
この場を借りてお詫びします。
今更訂正もできませんので、この位置のまま話を進めます。
Footmark さんの【答え】については、正解です。
【証明】については、私にはよく分からない部分があって、判断できません。
次の部分について、いくつか質問をしてもよろしいでしょうか？
＞すると、Ｈは△ＤＥＦの各頂角の二等分線の交点で、△ＤＥＦの内心です。
＞そこで、△ＡＢＣの各辺を鏡と考えると、△ＤＥＦの各辺は明らかに光の道筋です。
＞これ以外の光の道筋なら、三角形とはならず、光の道筋に従わない三角形なら、
＞『フェルマーの原理』に反するため最短な道筋ではありません。
１．点Ｈが△ＤＥＦの内心であることは、この証明でどのような役割を果たしているのでしょうか？
２．垂線の足である点Ｅから出発して、→Ｆ（垂線の足）→Ｄ（垂線の足）→Ｅと、たどると、 垂線の足である点Ｅから出発して、他の経路をたどった場合より短くなるのは、 この説明で分かります。
垂線の足でない点Ｅから出発して、経路が最短となるように、→Ｆ（垂線の足でない）→Ｄ（垂線の足でない）→Ｅと、たどった場合より、 短くなることの説明も含まれているのでしょうか？
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
【質問１について】
△DEFの内心Iが、ID⊥AB , IE⊥BC , IF⊥CA であるならば、３辺DE,EF.FDは光の道筋です。
△DEFの内心Iが、ID⊥AB , IE⊥BC , IF⊥CA でないならば、３辺DE,EF.FDは光の道筋ではありません。
【質問２について】
３辺が光の道筋となる三角形は、解答で示した△DEF唯一しか存在しません。
【簡単な証明】