◆神奈川県 わかさひ君 さんからの解答。
【質問２】に関しては、一般項は求めるのが大変だと思います。
特性方程式 k3 = k2 + k + 1 を解くのですが、まずこの解が有理数じゃないので大変です。
（三次方程式なので、カルダノの方法などを使えば解けないことはないですが）。
これを解いたとすると、三次方程式なので実根は必ずあります。
これをαとすると、
an+2 + (α-1) an+1 + (1/α) an = αn ( a2 + (α-1) a1 + (1/α) a0 )
になります。
右辺の( )内を簡単のためにβとします。
この三項間漸化式は、 bn = an / αn と置換すれば
α2 bn+2 + α(α-1) bn+1 + (1/α) bn = β
と書けます。
あとは高校で習うようにして、この漸化式を解けばよいのですが
（右辺が０じゃないのでちょっと小細工がいりますが解けますよね）、
α、βともにきれいな数ではないので・・・。
（特性方程式の解もきれいにならないし）
# 最後にはひょっとしたらきれいになるのかもしれませんが、そんなのは知られてはいないようです。おそらく。
# フィボナッチ数列でも無理数が残りますからね・・・
【質問１】に関しては、この数列の一般項は求められないような気がするのですが・・・？
少なくとも、数列サイトでは、一般項は求められていませんでした。
◆神奈川県 わかさひ君 さんからの解答。
【問題２】
ａn+1＝ａn・ａn-1＋１ １ (mod ａn 以下同様)
ａn+2＝ａn・ａn+1＋１ １
ａn+3曹Q
ａn+4曹R
ａn+5曹V
ａn+6曹Q２
なので、ａn+6−２２ は ａnで割り切れます。
ａn+6 ＞ ａnであり、
ｎ≧３では ａn ≧ ２ですから、 ａn+6 は合成数になります。
したがって、 n ≧ ９ では ａn−２２ は合成数になります。
◆大阪府 ＭＯＴ さんからの解答。
【問題１】
ａ1= 1 = 4 X 0+1
ａ2= 1 = 4 X 0+1
ａ3= 2 = 4 X 0+2
ａ4= 3 = 4 X 0+3
ａ5= 7 = 4 X 1+3
ａ6= 22 = 4 X 5+2
ａ7=155 = 4 X 38+3
と、なっていきますが、この数式の可能性としては,以下の組み合わせになると思います。
(4k+1)(4k+1)+1=16k2+8k+2=4(4k2+2k)+2 (4k+1)(4k+2)+1=16k2+12k+3=4(4k2+3k)+3 (4k+1)(4k+3)+1=16k2+16k+4=4(4k2+4k+1) (4k+2)(4k+2)+1=16k2+16k+5=4(4k2+4k+1)+1 (4k+2)(4k+3)+1=16k2+20k+7=4(4k2+5k+1)+3 (4k+3)(4k+3)+1=16k2+24k+10=4(4k2+6k+2)+2４で割り切れる結果は、４で割って３余る数と１余る数の組み合わせの時のみです。
しかし、ａ1=ａ2= 1 の時
ｎ=３ 以上では 余りが２と３になり、２と３の組み合わせでは余りが２と３の数しか続きません。
よって４で割り切れる数はこの数列にはないということです。