『四角形の数』

『四角形の数』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

答え　０。

【問題２】

８回で差が０になる場合。０〜９を使って

　０　　　　０　
１　　９　　５　　９
　４　　　　８　


　０　　　　０　
９　　１　　９　　５
　４　　　　８　


　１　　　　１　
０　　４　　４　　０
　９　　　　９　


　４　　　　４　
１　　９　　９　　１
　０　　　　０　


　５　　　　５　
０　　８　　８　　０
　９　　　　９　


　８　　　　９　
５　　９　　０　　８
　０　　　　５　


　９　　　　９　
４　　０　　８　　０
　１　　　　５　


上記を４の剰余で分類すると、
　０　　　　１　
１　　１　　０　　０
　０　　　　１　

２つのパターンになります。

【問題４】

１０回で差が０になる場合。０〜１３を使って

　０　　　　０　
２　　13　　７　　13
　６　　　　11　


　０　　　　０　
13　　２　　13　　７
　６　　　　11　

など。

上記を４の剰余で分類すると、

　０　　　　０　
２　　１　　２　　１
　２　　　　３　


　０　　　　０　
１　　２　　１　　２
　２　　　　３　

　４の剰余に関係していることは推理できますが、任意のＮ回についての一般解はまだ漠然としています。
やっと４に関係する問題がでましたね。

【コメント】

　Ｎの式で一般解を表現するのは大変そうなので、方法を例で説明してもらえば十分です。
問題３の「０になる証明」においても、偶奇性を考えることは重要です。
近日中に「Ｍ以下の数」でできるパターンを表示するプログラムを掲載します。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題４】

・１２回
　０　　　　０　
６　　37　　８　　50
　17　　　　23　

・１３回
　０　　　　０　
７　　44　　24　　44
　20　　　　37　

規則性がようやく見えてきました。

【コメント】

　短い回数で終わってしまう場合と、かなりの回数続く場合のパターンが明らかに違います。
それを分析すれば、長く続くパターンを見つけることができそうです。
プログラムも載せました。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

回数0の直前ＡＢＣＤ
８４０１４９
９４０２５11
10４０２６13
11８０５1431
12８０６1737
13８０102964
1416０1748105
1516０2057125
1616０2468149
1732０57162355

上記のA,B,C,Dは最初に可能となる最小の数です。
ヒントにある回数が大きくなる場合だと思います。

◆石川県　青木からの解答。

【問題３】

　この問題の証明を掲載します。
最初の４つの数の偶数、奇数により、６通りに分類します。

  1. ４つとも奇数
  2. １つが偶数、３つが奇数
  3. 偶数ー奇数ー偶数ー奇数
  4. 偶数ー偶数ー奇数ー奇数
  5. ３つが偶数、１つが奇数
  6. ４つとも偶数
１〜５については、次の回数の操作ですべて６の「４つとも偶数」になります。

　１の場合は、１回の操作。
　２の場合は、４回の操作。
　３の場合は、２回の操作。
　４の場合は、３回の操作。
　５の場合は、４回の操作。

したがって「４つとも偶数」の場合のみ証明すればよい。

４つの数をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。
今、Ａ
――
２		， Ｂ
――
２		，Ｃ
――
２		， Ｄ
――
２
を考えると、先ほど述べた１〜６の場合が考えられます。
しかし先ほどと同様に、すべて偶数であるとして差し支えありません。
（というか偶数の場合のみ考えればよいのです）

Ａ
――
２		， Ｂ
――
２		，Ｃ
――
２		， Ｄ
――
２
は偶数だから、元の４つの数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは４の倍数になります。

次にＡ
――
４		， Ｂ
――
４		，Ｃ
――
４		， Ｄ
――
４
を考えると、

・・・中略・・・

元の４つの数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは８の倍数になります。

以下、この議論を繰り返すと、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは任意の自然数ｎについて２nの倍数になります。・・（＊）

（というか、その場合のみ考えればよいのです）

「２つの数の差」が「元の２つの数」より大きくなることはないので、どのステップにおいても、４つの数の最大値が大きくなることはありません。
（＊）より、このような数は０しかありません。

以上の議論から、４つの数がいくつであっても、最後は０に到達することがわかります。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

規則性が見つかりました。

　　　　　　　Ｗ　　Ｘ　　Ｙ　  Ｚ
  
　２　　６　　０　　０　　１　　３
　２　　７　　０　　１　　２　　４

を元に次々に作ることが出来ます。
  
　４　　８　　０　　１　　４　　９

　６のＹ＝１をＸ＝１に。Ｙ＝（４−２）×２＝４。
　　　　　　　　　　　　Ｚ＝２×４＋１＝９。
  
　４　　９　　０　　２　　５　１１

　７のＹ＝２をＸ＝２に。Ｙ＝９−４＝５。
　　　　　　　　　　　　Ｚ＝９＋２＝１１。
 
　４　１０　　０　　２　　６　１３

　８のＹ＝４÷２＝２＝Ｘに。Ｙ＝１１−５＝６。
　　　　　　　　　　　　　　Ｚ＝（１１×２＋４）÷２＝１３。
以上のように作ることが出来ます。
  
　８　１１　　０　　　５　　１４　　　３１　
　８　１２　　０　　　６　　１７　　　３７
　８　１３　　０　　　７　　２０　　　４４　ここは間違えていました。４４＜６４。
１６　１４　　０　　１７　　４８　　１０５
１６　１５　　０　　２０　　５７　　１２５
１６　１６　　０　　２４　　６８　　１４９
３２　１７　　０　　５７　１６２　　３５５
３２　１８　　０　　６８　１９３　　４２３
３２　１９　　０　　８１　２３０　　５０４
６４　２０　　０　１９３　５４８　１２０１　
６４　２１　　０　２３０　６５３　１４３１
６４　２２　　０　２７４　７７８　１７０５
上記のものがＺが最小となるものだと思います。
Ｘｎ、Ｙｎ、Ｚｎで一般的に表現するのは、しんどいことですが可能だと思います。　

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

補足

32 　18　 0   −　　　　Y(18)　　         −
 　　　　　　　　　　　　193

32   19   0　 −        Y(19)             Z(19)
  　 　　　　　　　　　　230               504

64   20   0   Y(18)     2*Z(19)-2*Y(19)   2*Z(19)+Y(18)
  　　　　　　  193      548　　　　　　　 1201

64   21       Y(19)     2*Y(19)+Y(18)     2*Z(19)+Y(19)+Y(18)　
　　　　　　　  230      653               1431

64   22    Z(19)-Y(19)  2*Z(19)-Y(19)     3*Z(19)+Y(18)
                274      778               1705　
漸化式は場合分けの問題もあり、うまくいきません。
Z(n)の一般式は難しそうです。
見通しのよい考え方がわかりません。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

　ｎＷＸＹＺ
１２０１０１
１３００１１
１４０００１
２５０１２３
２６００１３
２７０１２４
４８０１４９
４９０２５１１
４１００２６１３
８１１０５１４３１
８１２０６１７３７
８１３０７２０４４
１６１４０１７４８１０５
１６１５０２０５７１２５
１６１６０２４６８１４９
３２１７０５７１６２３５５
３２１８０６８１９３４２３
３２１９０８１２３０５０４
６４２００１９３５４８１２０１
６４２１０２３０６５３１４３１
６４２２０２７４７７８１７０５
１２８２３０６５３１８５４４０６３
１２８２４０７７８２２０９４８４１
１２８２５０９２７２６３２５７６８

　いろいろな関係式をみつけましたが、解決にはほど遠い感じです。
一番スッキリしているものは、

　Ｚ（ｎ−３）＝Ｙ（ｎ）−Ｘ（ｎ）。ｎ≧５

Ｚ（ｎ）、Ｙ（ｎ）を求めることが出来れば、Ｘ（ｎ）は簡単に求められますが。

◆東京都　Asami さんからの解答。

【問題３】の別証明

隣り合う頂点の数の差（大きい方−小さい方）を考えているのだから、いくら操作を繰り返しても、
頂点の数≧０であることに注意する。

ここで、すべての頂点が０でないときからスタートして、そこから何回操作しても、どの頂点にも０が現れないと仮定する。

すると、如何なる操作の段階においても、連続する２頂点の値は(どの辺に関しても)異なるハズであり、しかも、

連続する２頂点の差＜連続する２頂点のＭＡＸ

となることに注意すれば、

「４頂点のＭＡＸ」という量は、操作をする度に(正の値を取りながら)狭義に単調減少してゆくことが分かるので、これは矛盾。

従って、ある頂点には何回かの操作の後に、０が現れることが分かる。
特に、その後すべての頂点が０でなくなったとしても、さらに操作を何回か繰り返すと、再び０が現れることに注意。

次に、改めて
「何回操作しても、２つ以上の頂点が０になることはない」と仮定する。…★

そしてある段階(この状態をＴと名付ける)で、
反時計回りに０，χ，ｙ，ｚ(もちろんχ，ｙ，ｚ＞０)となっていたとしてよい。

従って★よりχ，ｙ，ｚ(＞０)のどれもが一致しないことがわかる。

さて、Ｔから２回の操作で

|χ-ｚ|，|χ−|χ-ｙ||，||χ-ｙ|−|ｚ-ｙ||，|ｚ−|ｚ-ｙ|

となっているが、

max{|χ-ｚ|，|χ−|χ-ｙ||，||χ-ｙ|−|ｚ-ｙ||，|ｚ−|ｚ-ｙ||}
＜max{χ，ｙ，ｚ}

であるから、Ｔから何回かの操作を経た後、再び０，ｐ，ｑ，ｒとなったとき
max{χ，ｙ，ｚ}＞max{ｐ，ｑ，ｒ}　である。

このようにして無限に

max{χ，ｙ，ｚ}＞max{ｐ，ｑ，ｒ}＞……

と下降してゆくことになるが、矛盾である。

よって★の仮定が誤りであって、ある段階では頂点に２個以上の“０”が現れることが分かる。
０が２つ現れる、ある状態をＬと名付ける。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

Peter J.Kernan 氏　よりE-mailをいただきました。
(member in phys.CWRU.edu.)

Here is an answer for one thousand steps;

0

232452747934020853026132807148642145655460517565287209547557674662918770312575361490951007004176552319647671151545031627828273740559936870 03857811580536690665802994831566781161

660000008422201365653240760511884563984634306302677480306650170072275219857964620620240992761484943440303946484767780620817002166538617322 33421094983669864309012375477227787970

144638202186621062210298133650350498496322623762037621581753603237625074656613255517935646226333747755504150191217091566993839535484514154 401388311514457320273982346593521067843

Here are the important symmetries.

I will not offer a mathematical proof of why it works but rather let the algorithm serve as its own proof.

Perlでコ−ディングされたとのことです。
世界は広いな〜と実感しました。
同時に私のつたない英語でも数の規則性は言語を越えて理解されるものだと感動しました。

◆広島県　未菜実 さんからの解答。

表の関係式がわかりました。

n≧8のとき

1.x(n)=z(n-3)-z(n-6)-x(n-3)

2.y(n)=y(n-3)+2*x(n)

3.n+1が３の倍数のとき
　　z(n)=x(n)+z(n-1)

そうでないとき
　　z(n)=x(n)+2*z(n-1)

これで表が完成できます。
エクセルでやって見ました。

　

ｎ＝２から７まではデータを入れてください。
ｎ＝８は
xの欄　F5-F2-D5
ｙの欄　E5+2*D8
ｚの欄　IF(MOD((B8+1),3),D8+F7,D8+F7*2)

と入れ後はコピーでOKです。

参考にエクセルの表を添付します。

本当は証明が必要なんでしょうが、誰かお願い！(^_-)

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