◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
（問題１解答）
２桁の数ａから１回の計算で出てくる数ｂが２桁になるとき、ｂは１０〜８１までの合成数。
ｂが２桁になるためにはａは１０の位が
１のとき・・・不可
２のとき・・・１の位は５以上
３のとき・・・１の位は４以上
４のとき・・・１の位は３以上
５のとき・・・１の位は２以上
６のとき・・・１の位は２以上
・・・・・・・・・
９のとき・・・１の位は２以上
となる。
できるだけ計算回数を多くするためには計算で出てくる数が上の条件を満たしていればよい。
２桁の数ｂの中で合成数かつ上の条件を満たし、１桁の数どうしの積で表すことが可能な数は
２５，２７，２８，３５，３６，４５，４８，
４９，５４，５６，６３，６４，７２
これらをもう一度計算して出てきた数の中で合成数かつ上の条件を満たし、１桁の数どうしの積で表すことが可能な数は３６のみである。
よって、計算課程を全て書くと
７×７＝４９
４×９＝３６
３×６＝１８
１×８＝８
２桁の正の整数のうち、一桁になるまでの計算回数が最大になる数ａは７７。
最大の計算回数は４回でｆ(ａ)＝８である。
ちょっとしらみつぶしみたいなやり方でずるいかもしれない・・・。
でも問題２以降は一般的に考えないと無理だと思うし・・・。
【コメント】
見事正解です。
この程度の試行錯誤で答えがでたのはすばらしい分析だと思います。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
７７。４回。ｆ（７７）＝８
【問題２】
６７９。５回。ｆ（６７９）＝６
【問題３】
３は素数である。
２桁の数で３になるのは、１３か３１である。
１３、３１は素数である。
したがって３桁以上の数で各位の積が１３，３１となることは出来ない。
よって、存在しない。
【コメント】
問題１、２は正解です。
問題３については、考え方は正しいのですが、直前は２桁とは限らないので、もう少し緻密な分析が必要になると思います。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
しらみつぶしで“77”を見つけました！
【問題２】
３桁の数abcにおいて
99−bc≧10b+c−bc≧(10-c)b+c
………右辺の値を★とする
b≧2なら ★≧29
b≧3なら ★≧39
b≧4なら ★≧49
b≧5なら ★≧59
abcが900以下のとき、
たとえばb≧5とすると……☆
(abcから一回操作後)≦a*99-a*★≦a*40
一回で0にならないとしてよかったり、1があらわれないとしてよかったりするので
≦a*39
≦299としてよい
二回操作後せいぜい100の位は1となるが、実は“1……”とならないとしてよいので、２桁台に突入するとしてよい！
２桁で77以外はせいぜい３回以下で終了する。
３桁で一回の操作後77となることはない(77は11を素因数に含むから)ので、☆の下では高々５回で終わることがわかる。
こんな感じで、回数がなるべく多くなるような候補をみつける方法も考えられると思うけど、これでは限界があるなぁ………。
とても難しいですね(^^;)
【問題３】
各位の積を考えると、桁数は同じかまたは少なくなる。
もし、同じ桁数であっても最大位の数は少なくとも“1”減っている。
桁が２以上ある限り、桁同士の積を考えることが出来るので、
ａ＞ａの各位の積＞(ａの各位の積)の積＞……という減少列が続く。
減少列なのだから、いつかは“9”以下になるはずだが、この列は正の値をとり続けるので、最終的に“0”以上“9”以下のどれかの値に落ち着く。
(とりあえず、これも示しておきました。)
さて、ａを２回以上の計算でＦ(ａ)＝３となる数としよう。
もしａの各位の数のどこかに偶数が１つでもあれば、それらの積も偶数だからそれはあり得ないことが分かる。
同様に“5”も入っていない。……★
つまり各位は“1,3,7,9”のどれかである。
ところで、２回以上の計算で……と言ってるので、ａの各位の数の積は２桁以上であるから、ａの各位の積を素因数分解すると、次のどれかである。
(ア)：“3”“7”を共に１回以上つかう
(イ)：“3”を３回以上つかう
(ウ)：“7”を２回以上つかう
さらに、
(ア')：“3”をｐ回と“7”をｑ回(ｐ+ｑ≧３)つかう
(イ')：“7”を２回つかうor“7,3”１回ずつつかう
と同値である。
(ア')または(イ')なる数は
『10の位が偶数で、1の位が1or3or7or9』という数に限られる……☆
(イ')のときは49or21だから明らかに成り立つので、
以下では(ア')について☆をｐ+ｑに関する帰納法で示す。
ｐ+ｑ＝３のとき、27,63,147,343だから確かに成り立つ
ｐ+ｑ＝ｋ(≧３)で成り立つと仮定する。
今“3”を１つかけると、10の位は(偶数×3＋0or2だから)依然として偶数を保っており、1の位も1or3or7or9である性質を保っている。
“7”を１つかけるときも同様で、10の位は(偶数×7＋2or4or6だから)依然として偶数を保っており、1の位も1or3or7or9である性質を保っている。
したがってｐ+ｑ＝k+1のときにも☆が成り立ち、帰納法が完結。
これよりａは10の位が偶数となっている数であることがわかる。
しかしａは★なのにもかかわらず10の位が偶数になっていてこれは矛盾。
∴存在しない (同様に、２回以上でＦ(ａ)＝７にも１にも９にもならないことも示される)
【コメント】
問題３は完璧な証明ですね。
しかも一桁の数になることまで証明していただいて、思わず涙が出ました。
うるうる。。。。
しかし実際に計算回数が最大になる数を特定するのは難しいですね。
私はコンピュータでいんちき。
◆東京都 Asami さんからの解答。
指摘が来る前に、自分で訂正しておきます。
【問題２】で最初の部分の不等式評価が間違っていました。(;_;)
あくまで、証明ではなく、こういった方法(方向性)でやるのかな？ということが書きたかっただけなので許して下さいね。
実際、読んでみればわかるけど、仮に不等式が合っていたとしても、高々５回で終わることの完全な証明にはなっていませんので。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題２】で、高々６回を示すだけなら、わりとシラミツブさずに出来ます。
(ある意味こじつけに近いですが……)
【補題】398以下の数は高々４回で１桁になる
【補題証明】
3×9×8＝216,2×9×9＝162なので、398以下の数は１回の操作でどこかの位に“1”or“0”が現れる。
つまり実質２桁(以下)で考えているのと同じことである。
しかし177にはならないので、
(∵177＝3×59で、59は１桁の素数で割れないから)
２桁での結果を使って、あと高々３回の操作で１桁になる。
(補題証明終了)
さて、999以下の数は１回の操作で729以下となるが、次に積を考えるとき729は279で考えても実質同じことなので【補題】に帰着される。
700〜728も同様である。
従って999以下 → 一回目操作後 → 699以下としてよい。
699＝3×233なので、(233は１桁の素数で割れないから)この場合不適で698以下としてよい。
698以下の数で積が大きくなる候補は698,599のいずれかだから、
698以下 → 二回目操作後 → 405以下としてよいが、
更に399以下としてよく、399＝3×133なので、398以下としてよい。
【補題】と併せて、高々６回で１桁になることがわかる
(証明終了)
もちろん、このやり方では桁数が大きくなるに連れて、評価の誤差が大きくなります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
おまけの問題
プログラムを組んで求めました。
４桁の場合 ６７８８。
６回。ｆ（６７８８）＝０。
６，７が１個，８が２個の４桁の数。
【コメント】
見事正解です。
実は４桁以降は計算回数が最大になる数ａで、全てＦ(ａ)＝０となります。
たぶん。。。
これって証明できるのかなぁ。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
おまけの問題
５桁の場合
６８８８９。７回。ｆ（６８８８９）＝０。
確かにｆ（ｘ）＝０になりますね。
６桁までは実験できそうですが。それ以上は時間と精度の問題がありそうです。
私の時代がかったコンピュータでは。。。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
おまけの問題
２桁 ７７．．．．．．４回 ３桁 ６７９．．．．．．５回 ４桁 ６７８８．．．．．．６回 ５桁 ６８８８９．．．．．．７回 ６桁 ？ ．．．．．．８回６桁は８回の数を期待していましたが、ありません。
上記の表題で数列がありました。
何度か改訂があったことが予想されます。
最新のものは以下の通りです。
| ０ | ０ |
| １ | １０ |
| ２ | ２５ |
| ３ | ３９ |
| ４ | ７７ |
| ５ | ６７９ |
| ６ | ６７８８ |
| ７ | ６８８８９ |
| ８ | ２６７７８８９ |
| ９ | ２６８８８９９９ |
| １０ | ３７７８８８８９９９ |
| １１ | ２６７７７７７７７８８９９ |
| １２ | ７７７７７７７７７８８８８８８８８８８８８９９９９９ |
１３番目まで記載がありました。
一般式がないところをみると、未解決の問題のようです。
今回の関数ｆは。とほほ．．．。
９回は桁あふれで確かめられません。
１回 ４４７８９７６ ２回 ３３８６８８ ３回 ２７６４８ ４回 ２６８８ ５回 ７６８ ６回 ３３６ ７回 ５４ ８回 ２０ ９回 ０以上です。
【コメント】
ぜっかくですから、９番目も実験できるようにしました。
確かに成り立ちます。
６桁は１６８８８９，
２６７７９９，
３７７７７９，
３７７８８９の７回が最大のようです。