◆滋賀県 一平 さんからの解答。
【問題１】
Ａr＝(Ｔ＋２ｒ−２)・(Ｔ＋２ｒ−１)と因数分解できます。
Ａ1999
＝(Ｔ＋３９９６)・(Ｔ＋３９９７)
≡(Ｔー２)・(Ｔー１) （ｍｏｄ１９９９）……(1)
ところで、Ａr（ｒ＝１…９９９）は因数を２つずつもち、それらを並べると、
ＴからＴ＋１９９７までの合計１９９８個の連続する整数になる。……A
いま、Ａr（ｒ＝１…９９９）が１９９９で割り切れないと仮定すると、
Aから、Ｔ≡１（ｍｏｄ１９９９）となる。
これを@に代入すると、Ａ1999は１９９９で割り切れることになり、これは矛盾。
従って、Ａr（ｒ＝１…９９９）のうちどれかは１９９９で割り切れる。
（終わり）
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
求める個数は、
「４０００桁までの９９の倍数の個数」−「３９９８桁までの９９の倍数の個数」となる。
４０００桁の最大のものは、
１０4000−１＝９９９９．．．．９９９９
９が４０００個、これは９の倍数。
また１１の倍数は
「偶数桁の和−奇数桁の和」が０または１１の倍数。
この場合は０であるから１１の倍数。
（１０4000−１）÷９９＝１０3998．．．１）
３９９８桁の最大のものは、
１０3998−１＝９９９９．．．．．９９
９が３９９８個、これは、９９の倍数である。
（１０3998−１）÷９９＝１０3996．．．２）
１）−２）
１０3998−１０3996
＝（１００−１）×１０3996
＝９９×１０3996
答え （９９×１０3996）個。
指数が不安です。
◆神奈川県 いわし さんからの解答。
【問題２】
h=100とおきます。
4000桁の最大数は
N=104000−1=h2000−1で、
これは99=h−1で割り切れますから、N以下の99の倍数は
N／99個です。
3998桁の最大数は
n=103998−1=h1999−1で、
これもh−1で割り切れますから、n以下の99の倍数は
n／99個です。
よって、nより大きくN以下の99の倍数は
|
N−n ―――― 99 | = |
103998(102−1) ――――――――― 99 | =103998個です。 |
【問題３】
N, kを自然数として
N=2a2+11b2=k2 (1)
とおきます。
a=0またはb=0のとき、(a, b)は(1)の解ではありませんから、a, bは自然数として構いません。
a, bが共通因数mを持つとします。
a=mc, b=mdとおくと
N=m2(2c2+11d2)
より、(a, b)が(1)の解ならば(c, d)も解ですから、aとbは互いに素として一般性を失いません。
aが素因数11を持つとします。
a=11eとおくと
N=11(2・11 e2+ b2)と書けます。
ここでbは因数11を持ちませんから、( )内は11で割り切れません。
すなわちNは素因数11を1つだけ持ちますから、平方数ではありません。
よって、aは素因数11を持ちません。
このとき、kも素因数11を持ちません。
自然数pを11で割った余りをr(p)とおき、
r(p2), r(2p2)のとり得る値を調べます。
| r(p) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| r(p2) | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 |
| r(2p2) | 0 | 2 | 8 | 7 | 10 | 6 | 6 | 10 | 7 | 8 | 2 |
r(2a2)≠0, r(k2)≠0ですから、
r(2a2)のとり得る値は2, 6, 7, 8, 10,
またr(k2)のとり得る値は1, 3, 4, 5, 9より、
r(2a2)=r(k2)となることはありません。
すなわち、k2−2a2は11で割り切れませんから、(1)は整数解を持ちません。
◆東京都の中学校１年生 安里歩安彼 さんからの解答。
【問題３】
もし、2a2+11b2=c2
をみたすa,b,cがあったとしよう。
そのとき、当然
２a2≡c2（mod 11)
１１の平方剰余をしらべると、０，１，４，９，５であるから、
a≡ｃ≡０(mod 11)となる。
いま、a＝１１d、ｃ＝１１e としよう。
すると、
２×１１×１１×d2＋１１b2＝１１×１１×e2すると、ｂは11の倍数であることがわかり、
２×１１×１１×d2＋１１×１１×１１×f2＝１１×１１×e2である。
両辺を１１×１１でわって、
２d2＋１１f2＝e2である。
この式は、元の式（つまり問題の式）と同じ形をしており、かつ各d,e,fは、a,b,cよりも小さい。
よって、問題の式を満たすa,b,cがあるとすると、a,b,cより小さく問題の式を満たす数のペアが、無限に存在することになり、矛盾するので、問題を満たす式はないことが分かる。
PS 無限降下法ですね！