◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
毎日仕事をしたとあるので、３人で１日で準備が終わったことはないとする。
また公平にｎ人が同じ日数働いたとする。
nＣ3／３≧nＣ2
ｎ≧７
７人に背番号１〜７をつける。
例えば
１）（１，２，３）
２）（１，４，５）
３）（１，６，７）
４）（２，４，６）
５）（２，５，７）
６）（３，４，７）
７）（３，５，６）
題意を満たしていることがわかる。
７日間準備して、どの一人も３日働いたことになる。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
（１）
５個の整数を３で割るとその剰余は０，１，２の３種類となる。
5+3-1Ｃ5＝7Ｃ5＝２１
５個の整数の組み合わせは３の剰余で分類すると、２１通りある。
２１通りの場合において適当に３個選べばその和は３で割り切れことが示せる。
１）０＋０＋０＝０≡０ (mod 3)
２）０＋１＋２＝３≡０ (mod 3)
３）１＋１＋１＝３≡０ (mod 3)
４）２＋２＋２＝６≡０ (mod 3)
（２）
１１個の整数を６で割るとその剰余は
０，１，２，３，４，５の６種類となる。
6+11-1Ｃ11＝16Ｃ5＝４３６８
１１個の整数の組み合わせは６の剰余で分類すると、４３６８通りである。
４３６８通りの場合において適当に６個選べばその和は６で割り切れることが示せる。
０，６，１２，１８，２４，３０≡０ (mod 6)
（３）
連続する１０個の整数を５で割るとその剰余は
０，１，２，３，４の５種類となる。
またその５種類が２個ずつある。
したがって、
０＋１＋２＋３＋４＝１０≡０ (mod 5)
２5＝３２
３２通りある。
（４）
２０の約数は１，２，４，５，１０，２０の６種類である。
これらの６種類の整数が２０個ある。
6+20-1Ｃ20
＝25Ｃ20
＝25Ｃ5
＝５３１３０
５３１３０通りの場合がある。
すべての場合において１が２０個から２０が１個まで、１，２，４，５，１０，２０を適当に足すことでその和を２０にすることが示せる。
【問題３】
| ｎ ――――― (ｎ，ｒ) | ＝ｐ |
|
ｎ ――――― (ｎ，ｓ) |
＝ｑ |
(ｐ，ｑ)＝１、ｎ＝ｐ×(ｎ，ｒ)、ｎ＝ｑ×(ｎ，ｓ)であるから、
ｐ×(ｎ，ｒ)＝ｑ×(ｎ，ｓ)、
| ｐ ――― ｑ | ＝ |
(ｎ，ｓ) ――――― (ｎ，ｒ) |
ｐ＝(ｎ，ｓ)、ｑ＝(ｎ，ｒ)、(ｎ，ｒ＋ｓ)＝１であるから、
ｎ(ｎ，ｒ＋ｓ)＝(ｎ，ｒ)(ｎ，ｓ)である。
◆三重県 久保田 尚 さんからの解答。
きちんとした証明はできないので自己流でやってみます。
【問題１】
（１）
それぞれの整数を３で割ったときの余りを考えると、０，１，２の３種類になる。
・５つのうち同じ種類が３つあれば３で割り切れる
・その他の組み合わせとしては
０，０，１，１，２
０，１，１，２，２
０，０，１，２，２
の３通りしかないが、どの場合も０，１，２の組み合わせが３で割り切れる。
よってうまく３つ選べば必ず３で割り切れる。
（３）
連続する１０個の整数を５で割ると、
余りが０，１，２，３，４の５種類（各２個ずつ）になる。
このうち合計が５の倍数になる組み合わせを考えると
・合計が１５の場合
４，４，３，３，１ → ２通り（１が２つあるので）
４，４，３，２，２ → ２通り
・合計が１０の場合
０，１，２，３，４ → ２5＝３２通り
４，４，１，１，０ → ２通り
４，４，２，０，０ → ２通り
３，３，４，０，０ → ２通り
３，３，２，２，０ → ２通り
３，３，２，１，１ → ２通り
・合計が５の場合
２，２，１，０，０ → ２通り
１，１，３，０，０ → ２通り
となり、合計５０通りになる。
◆東京都 しんちー さんからの解答。
【問題３】
問題3は清川さんの解答で,
| p ―― q | = |
(n,s) ――――― (n,r) |
とありますがこれには反例があります.
n=60，r=10，s=12とおくと
(n,r)=10，(n,s)=12，p=6，q=5
となります.
| n ―――― (n,r) | =p および |
n ―――― (n,s) | =q |
題意より
(p,q)=1 ...(1)
すると
n = p(n,r) = q(n,s) および (1) から
(n,s)=p×t ...(2)
および
(n,r)=q×t ...(3)とおける。
なお、 n=pqt ...(4)である。
さらに
| r ―――― (n,r) | =u , |
s ―――― (n,s) | =v |
r=u(n，r) ...(5)
s=v(n，s) ...(6)
(p，u)=1 ...(7)
(q，v)=1 ...(8)である。
以下で示すのは
| (n,r+s) = |
(n,r)(n,s) ―――――― n | ...(*) |
まず、(*)の右辺 G は自然数であることを示す。
実際 (2)-(4) より
G = pt×qt/pqt = t である。
(2)-(6) より
n=pqt,
r+s=u(n,r)+v(n,s)=uqt+vpt
であるから G、すなわち t は
n と r+s の公約数であり、
以下に示すように
|
n ―― G | と |
r+s ――― G |
実際
|
n ―― G | = |
n ―― t | = pq |
|
r+s ――― G | = |
uqt+vpt ――――― t | = uq + vp |
とくに素数の公約数 c を考えると (1) より c はp か q の約数である。
仮に p の約数であるとすると
c | uq+vp, c | vp であるから
c | uq であることがわかるが、
(7) より c | q となり (1) に矛盾する。
同様に c が q の約数であるとすると (8) に矛盾することがわかる。
(#) より (*) が成り立つ、すなわち
n(n，r+s)=(n，r)(n，s)
が成り立つ。q.e.d.
感想：ちょっと無駄が多いかもしれません。
代数の演習本の載っていそうな感じですね。