◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
２，２＋１，２2＋１の関係にあれば題意を満たします。
(A,B,C)=(2,3,5),(2,5,3),(3,2,5),(3,5,2),(5,2,3),(5,3,2)
これだけかどうかは自信がありません。
【コメント】
これは私が答えを言うよりも、全国の方に考えていただきましょう。
さて、答えは上の場合だけでしょうか。
もしそうならその理由を指摘してください。
◆神奈川県 わかさひ君からの解答。
対称性のある問題は、対称性を崩さずに処理するとうまく行くことが多いです。
ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ
を考えます。
例えば、これをｃで割ると、第１項では１余り、第２項、３項では割り切れますから、全体でも１余るわけです。
ａ，ｂで割った場合も同様ですから、結局、
ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ − １
は、ａでもｂでもｃでも割り切れます。
# これで問題は片付いたも同然なので、後は普通の数学になるのですが・・・
ｋを自然数とすれば、
ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ ＝ ｋａｂｃ ＋ １
と書けます。
ここで、 ０ ＜ ａ ≦ ｂ ≦ ｃ とすれば、
ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ ≦ ３ｂｃ
ですから、
ｋａｂｃ＋１ ≦３ｂｃ
ゆえに、ｋａ < ３ ですから、ｋ，ａの可能性は１，２しかありません。
しかし、ａ＝１のとき、割り算の余りは出ませんから不適です。
したがって、ａ＝２と決まります。
よって、ｋ＝１ですから、これを代入して
２(ｂ＋ｃ) ＋ ｂｃ ＝ ２ｂｃ ＋ １
(ｂ−２)(ｃ−２)＝３
と変形できます。
この解は、大小関係から ｂ＝３，ｃ＝５ の一通りしかありません。
したがって、順序を除いた本質的な解は
(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，３，５)
に定まります。
◆神奈川県 ａｌｅｐｈさんからの解答。
【答え】(Ａ，Ｂ，Ｃ)＝(２，３，５)および任意に入れ替えた計６通りのみである。
【説明】
１≦Ａ≦Ｂ≦Ｃ としても一般性を失いません。
まずＡ＝１とすると、ＣＢをＡで割るとあまりは０なのでＡ≠１。よって２≦Ａ。
Ａ＝Ｂとすると、ＣＡをＢで割った余りは０なのでＡ≠Ｂ。よってＡ＜Ｂ。
Ｂ＝Ｃとすると、ＡＢをＣで割った余りは０なのでＢ≠Ｃ。よってＢ＜Ｃ。
以上から ２≦Ａ＜Ｂ＜Ｃ −−−−（＊)
題意より
ＡＢ−１はＣで割り切れ、ＢＣ−１はＡで割り切れ、ＣＡ−１はＢで割り切れます。
ですから
(ＡＢ−１)(ＢＣ−１)(ＣＡ−１)
＝(ＡＢＣ)2−ＡＢＣ(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ)−１
はＡＢＣでわりきれます。
最初の２項はＡＢＣで割り切れるので、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ−１はＡＢＣで割り切れます。
つまりＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡをＡＢＣで割った余りは１ということです。
(１)ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＜ＡＢＣのとき
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡそのものが余りですが、(＊)から
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝１にはなりません。
したがってこのときは解なしです。
(２)ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＞ＡＢＣのとき
両辺ＡＢＣで割って
１＜１／Ａ＋１／Ｂ＋１／Ｃ＜３／Ａ
よってＡ＜３。つまりＡ＝２。このとき
１／２＜１／Ｂ＋１／Ｃ＜２／Ｂ
よってＢ＜４。つまりＢ＝３。このとき
１／６＜１／Ｃ。よってＣ＜６。つまりＣ＝４、５
(Ａ，Ｂ，Ｃ)＝(２，３，４)のとき題意を満たさない。
(Ａ，Ｂ，Ｃ)＝(２，３，５)は題意をみたす。
以上
もっと簡単な方法があるのでしょうか？
パズル研究家はどういう方法で解いたのか知りたいですね。
【コメント】
ほぼ同時に２つの解答が来ました。
方法は異なるのですがいずれも対称性を利用した巧妙な解答です。
鑑賞するだけで楽しくなりますね。