◆東京都 BossF さんからの解答。
【問題１】
ガウス記号を用いる。
まず、定義より a≦[a]＜a+1…(1)であることに注意する。
| A(n)=[ | n p |
]+[ | n q |
]+[ | n r |
]-[ | n pq |
]-[ | n qr |
]-[ | n rp |
]+[ | n pqr |
] |
であるから(1)より
| n p |
+ | n q |
+ | n r |
- | n pq |
- | n qr |
- | n rs |
+ | n pqr |
+3≦A(n)＜ | n p |
+ | n q |
+ | n r |
- | n pq |
- | n qr |
- | n rs |
+ | n pqr | +4 |
∴n→∞ のとき
| A(n)→ | 1 p |
+ | 1 q |
+ | 1 r |
- | 1 pq |
- | 1 qr |
- | 1 rp |
+ | 1 pqr |
…[答] |
ところで、ガウス記号って言い方、日本以外でも使ってるのでしょうか？
見たことないような気がします
{と言っても、あんまり知りませんけど(^^;;}
◆東京都 藤本 さんからの解答。
【問題２】
題意より Ｂ（ｎ）は
ｐａｑｂｒｃ ≦ ｎ … (1)
を満たす 正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）のうち
（０，０，０）を除いた個数である。
ここで (1)の対数をとると
ａlogｐ ＋ ｂlogｑ＋ ｃlogｒ ≦ logｎ
と変形できる。
したがって、Ｂ（ｎ）を求めるには
ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０
（logｐ）ｘ ＋ （logｑ）ｙ＋ （logｒ）ｚ ≦ logｎ
を満たす格子点の数を数えればよい。
（表面上の格子点を含む。但し、原点（０、０，０）は除く）
この格子点の数は、ｎが十分大きいときには 上記の平面で囲まれた立体の体積程度になり、以下のようにあらわせます。
| B（ｎ）＝ | １ ６ | ・ | （logｎ）3 logｐ・logｑ・logｒ |
＋ 〇((logｎ)2) |
（もう少し厳密には
| 1 6 | ( | logｎ logｐ |
+α | ) | ( | logｎ logｑ |
+α | ) | ( | logｎ logｒ |
+α | )≦B(n)≦ | 1 6 | ( | logｎ logｐ |
+β | ) | ( | logｎ logｑ |
+β | ) | ( | logｎ logｒ | +β | ) |
を満たす 定数α、β （α＜β） が存在することを証明する必要があります
＊ α ＝０、β＝２ ぐらいで十分 かな？ ）
したがって ｎ→∞ のとき
| B(ｎ) (logｎ)3 | → | １ ６logｐ・logｑ・logｒ |
【問題３】
この問題は、多分、冗談でしょう？
答えは、もちろん “１”。
証明は、、、、“素数定理”そのものなんでパスします。
（ 少年ガウス（１５歳のときでしたっけ）が、予想したもので、証明も １００年以上前（誰か忘れた）になされているものだったと思います）