◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
ピタゴラス数の必要十分条件
Ｘ2＋Ｙ2＝Ｚ2
Ｘ＝ａ2-ｂ2,
Ｙ＝２ａｂ,
Ｚ＝ａ2＋ｂ2
ａ，ｂの一つは偶数、一つは奇数。
ｎ＝ｍ2 ｍ≧2 ａ＝ｍ
X2＋ｎY2
＝(m2-b2)2+(m2)*(2mb)2
＝(m2+b2)
＝Z2
Ｘ2＋ｎＹ2＝Ｚ2
ｎが４以上の平方数であればよい。
したがって無数にあることになる。
【問題２】
Ｘ2＋Ｙ2＝Ｚ2
ｎ＜０
−ｎ＝ｎ1とするとｎ1＞０,
ｎ1＝ｍ2
Ｘ2＝ｎ1Ｙ2＋Ｚ2
Ｚ＝ｍ2−ｂ2,
Ｙ＝２ｍｂ,
Ｘ＝ｍ2＋ｂ2
問題１に還元されるのではないでしょうか。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
あるひとつの組（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が見つかれば、それをａ（ａは自然数）倍した
（ａＸ，ａＹ，ａＺ）も、条件を満たすので、一組存在することを示せばよい。
1) ｎが奇数の時
（ｎ＝１の時は証明済みなので、ｎ＞１とする）
ｎ＝２ｍ＋１ とおく。（ｍは自然数）
このとき、Ｘ＝ｍＹ とおくと、
Ｘ2＋ｎＹ2
＝ｍ2Ｙ2＋（２ｍ＋１）Ｙ2
＝{(ｍ＋１)Ｙ}2
より、条件を満たす自然数（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は存在する。
2) ｎが偶数の時
ｎ＝２ｍ とおく（ｍは自然数）
偶数のＹ（＝２ｙ）に対し、
Ｘ＝(２ｍ−１)ｙとおくと、
Ｘ2＋ｎＹ2
＝(２ｍ−１)2ｙ2＋(２ｍ)(２ｙ)2
＝(４ｍ2−４ｍ＋１)ｙ2＋８ｍｙ2
＝{(２ｍ＋１)ｙ}2
より、条件を満たす自然数（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は存在する。
以上より、任意の自然数ｎについて、
Ｘ2＋ｎＹ2＝Ｚ2を満たす
自然数の組（Ｘ,Ｙ,Ｚ)は無数に存在する。
【問題２】
ｎが負の数の時 ｎ＝−ｍ（ｍは自然数）とおくと、
Ｘ2＋ｎＹ2＝Ｚ2 は
Ｚ2＋ｍＹ2＝Ｘ2 と同値であるので、
問題１と同様に、自然数の組（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は無数に存在する。
考え方は、図を参照してください。