『黄金比』

『黄金比』解答

◆大阪府　ＣＨＥＣＫ　さんからの解答。

[ ]はガウス記号とする。

α，βを１より大きい，

１
――
α ＋１
――
β ＝１

を満たす無理数として，以下のように集合Ａ，Ｂを定める。

Ａ＝{[α]，[２α]，[３α]，･･････}
Ｂ＝{[β]，[２β]，[３β]，･･････}

自然数ｎについて

ｎ
――
α ＝[ ｎ
――
α ]＋ａ

ｎ
――
β ＝[ ｎ
――
β ]＋ｂ　･･･(1)

とおくと，α，βが無理数であることから，

０＜ａ＜１，０＜ｂ＜１　･･･(2)である。

このとき，

ｎ∈Ａ⇔ａ＋１
――
α ＞１

ｎ∈Ｂ⇔ｂ＋１
――
β ＞１　･･･(3)

が成り立つ。
（∵ｎ∈Ａとは，ｎ＝[ｐα]
すなわち

ｎ
――
α ＜ｐ＜ｎ＋１
――――
α

を満たす自然数ｐが存在することである）

さて，(1)および

１
――
α ＋１
――
β ＝１より

ａ＋ｂが整数と分かり，
(2)よりａ＋ｂ＝１である。

∴（１
――
α ＋ａ）＋（１
――
β ＋ｂ）＝２　･･･(4)

更に，(1)より

１
――
α ＋ａ＝ｎ＋１
――――
α －[ ｎ
――
α ]，

１
――
β ＋ｂ＝ｎ＋１
――――
β －[ ｎ
――
β ]

で，α，βは無理数だからこの２式の右辺は無理数で，

１
――
α ＋ａ≠１，１
――
β ＋ｂ≠１　･･･(5)

である。

(4)(5)より

１
――
α ＋ａと１
――
β ＋ｂの一方のみが

確かに１より大きくなるので，(3)より
ｎ∈Ａとｎ∈Ｂの一方のみが確かに起こる。

すなわち，各自然数がＡまたはＢに重複なく１度ずつ現れる。

いま，題意の

1
――
g ， 1
―――
g² は

「α，βを１より大きい，

１
――
α ＋１
――
β ＝１

を満たす無理数」を満たしている。

よって題意は示された。

◆宮城県　アンパンマン　さんからの解答。

[ 1
―
g ]=1,[ 1
――
g² ]=2,[ 2
―
g ]=3,

[ 3
―
g ]=4,[ 2
――
g² ]=5,[ 4
―
g ]=6,...

｛［ k
――
g ］｝，｛［ k
―――
g² ］｝

は両方increasing functionです。

［ k₁
――
g ］，［ k₂
―――
g² ］≦N　になるような

k₁,k₂を求めると

k₁=1,2,...,[(N+1)g] → [(N+1)g] 個

k₂=1,2,...,[(N+1)g²]→ [(N+1)g²]個

[(N+1)g]+[(N+1)g²]≦[(N+1)(g+g²)]= N+1

でもｇとｇ²は無理数ですから

[(N+1)g]+[(N+1)g²] ＝N

つまり

［ k₁
――
g ］，［ k₂
―――
g² ］≦N　つくれるような

k₁,k₂がＮ個あります。

同様に、

［ k₁
――
g ］，［ k₂
―――
g² ］≦N+1つくれるような

k₁,k₂が(Ｎ＋１)個あります。

ということは

［ k₁
――
g ］，［ k₂
―――
g² ］=N+1になるような

k₁,k₂　が (N+1)-N =1個あります。

重複無しに全ての自然数を尽くせるわけです。