◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
与えられた数字では「５」＋「５」以外はどのように足しても繰り上がりは起きない。
また、このように同じ数字同士を足すのはその数字が真ん中の桁にある時だけである。
その時は繰り上がりが１起きるため、和の真ん中の左右の桁の偶奇は異なる筈である。
よって、「５」は真ん中の桁にはない。
すると、すべての桁で繰り上がりは起きないことになる。
和の各桁が偶数になるのは各桁において「奇数＋奇数」か「偶数＋偶数」の時である。
それ故、逆さまにした数字の各桁の「偶奇の並び」は元の数字と同じ筈である。
よって、元の数字の各桁の「偶奇の並び」は左右対称でなければならない。
以上の２つの条件を満たす数字は以下の１６個である。
[奇偶奇偶奇の並びの時]
１２３４５、５４３２１
１４３２５、５２３４１
３２１４５，５４１２３
３４１２５、５２１４３
[偶奇奇奇偶の並びの時]
２１３５４、４５３１２
２３１５４，４５１３２
２５１３４、４３１５２
２５３１４、４１３５２
総和＝５７５７７２
【問題２】
９００＝２2*３2*５2
１０８０＝２3*３3*５1
最大公約数＝２2*３2*５1
よって、
| 公約数の総和＝ | 2 Σ i=0 | 2 Σ j=0 |
1 Σ k=0 |
２i*３j*５k＝５４６ |
[Ｐ・Ｓ]
「真ん中に５があると０(偶数でない)になるので５は真ん中にない。」の論法でいこうと思いましたが、 「０」は偶数なのか否か定義上の不安が若干残りました。^^;
そこで遠回りですが「０」をどちらに解釈してもよい無難な論法を用いました。
結果は同じです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
２数の和が偶数であるためには、偶数同士か奇数同士でなければならない。
１〜５のうち偶数は２と４の２個であり、これら２個の位置は
AE か BD の何れかのみである。
一方残り３個の奇数は 桁上がりのあるC=5 の場合を除き
BCD または ACEのどの位置でもよい。
ABCDEは下図
| A | B | C | D | E |
よって可能な組み合わせ数は
２×２！×（３！−２！）＝１６ とおりである。
２と４の組の平均は３である。
C=5のケースを含めると 奇数３個の平均も３である。
よって、C=5を含めるとABCDEいずれの桁も平均値は３であるので
合計１＝３３３３３×２×２！×３！＝７９９９９２
一方 C=5の場合、残り桁の平均は
５以外の奇数と偶数の平均値 Ｐ＝2.5 である。
この分は
合計２
＝ＰＰ５ＰＰ×２×２！×２！
＝2.5×(11211) ×8
＝２２４２２０
よって
合計
＝合計１−合計２
＝５７５７７２
【問題２】
９００＝２2３2５2
１０８０＝２3３3５
よって、最大公約数は ２2３2５
約数の合計は
| 2 Σ i=0 | 2 Σ j=0 |
1 Σ k=0 |
２i３j５k |
| ＝（１＋２＋２2）（１＋３＋３2）（１＋５） |
| ＝５４６ |