『割り切れる？』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

ｎは自然数で、ｎ＞１とする。

(１)ｎ³−ｎ＝(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)

　ｎ−１を３で割るとき、その商をｋとする。

　　イ)ｎ−１＝３ｋ　　のとき　　　　　　証明終わり。

　　ロ)ｎ−１＝３ｋ＋１のとき
　　　　　ｎ＋１＝(３ｋ＋１)＋２
　　　　　　　　＝３(ｋ＋１)　　　　　　証明終わり。

　　ハ)ｎ−１＝３ｋ＋２のとき
　　　　　ｎ＝(３ｋ＋２)＋１
　　　　　　＝３(ｋ＋１)　　　　　　　　証明終わり。

(２)ｎ⁵−ｎ＝(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ²＋１)

　ｎ−１を５で割るとき、その商をｋとする。

　　イ)ｎ−１＝５ｋ　　のとき　　　　　　証明終わり。

　　ロ)ｎ−１＝５ｋ＋１のとき　ｎ＝５ｋ＋２。
　　　　　ｎ²＋１
　　　　＝(５ｋ＋２)²＋１
　　　　＝２５ｋ²＋２０ｋ＋４＋１
　　　　＝５(５ｋ²＋４ｋ＋１)　　　　　証明終わり。

　　ハ)ｎ−１＝５ｋ＋２のとき　ｎ＝５ｋ＋３。
　　　　　ｎ²＋１
　　　　＝(５ｋ＋３)²＋１
　　　　＝２５ｋ²＋３０ｋ＋９＋１
　　　　＝５(５ｋ²＋６ｋ＋２)　　　　証明終わり。

　　ニ)ｎ−１＝５ｋ＋３のとき
　　　　ｎ＋１＝(５ｋ＋３)＋２
　　　　　　　＝５(ｋ＋１)　　　　　　証明おわり。

　　ホ)ｎ−１＝５ｋ＋４のとき
　　　　ｎ＝(５ｋ＋４)＋１
　　　　　＝５(ｋ＋１)　　　　　　　　証明終わり。

(３)ｎ⁷−ｎ＝(ｎ−１)ｎ(ｎ²＋ｎ＋１)(ｎ³＋１)

　　　　ｎ−１を７で割るとき、その商をｋとする。

　　イ)ｎ−１＝７ｋ　　　のとき　　　　証明終わり。

　　ロ)ｎ−１＝７ｋ＋１　のとき　ｎ＝７ｋ＋２
　　　　ｎ²＋ｎ＋１
　　　＝(７ｋ＋２)²＋(７ｋ＋２)＋１
　　　＝７(７ｋ²＋５ｋ＋１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。　

　　ハ)ｎ−１＝７ｋ＋２　のとき　ｎ＝７ｋ＋３
　　　　ｎ³＋１
　　　＝(７ｋ＋３)³＋１
　　　＝７(４９ｋ³＋８４ｋ²＋４８ｋ＋４)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。

　　ニ)ｎ−１＝７ｋ＋３　のとき　ｎ＝７ｋ＋４
　　　　ｎ²＋ｎ＋１
　　　＝(７ｋ＋４)²＋(７ｋ＋４)＋１
　　　＝７(７ｋ²＋９ｋ＋３)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。

　　ホ)ｎ−１＝７ｋ＋４　のとき　ｎ＝７ｋ＋５
　　　　ｎ³＋１
　　　＝(７ｋ＋５)³＋１
　　　＝７(４９ｋ³＋１０５ｋ²＋７５ｋ＋１８)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。

　　ヘ)ｎ−１＝７ｋ＋５　のとき　ｎ＝７ｋ＋６
　　　　ｎ³＋１
　　　＝(７ｋ＋６)³＋１
　　　＝７(４９ｋ³＋１２６ｋ²＋１０８ｋ＋３１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。

　　ト)ｎ−１＝７ｋ＋６　のとき
　　　　ｎ＝(７ｋ＋６)＋１
　　　　　＝７(ｋ＋１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終わり。

(４)ｎ⁹−ｎの場合を考える。

　　　　ｎ⁹−ｎ
　　　＝(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ²＋１)(ｎ⁴＋１)

　　ｎ−１を９で割るとき、その商をｋとする。

　　ｎ−１＝９ｋ。
　　ｎ−１＝９ｋ＋７のとき、ｎ＋１＝９(ｋ＋１)。
　　ｎ−１＝９ｋ＋８のとき、ｎ＝９(ｋ＋１)。
　　この３つの場合は９で割りきれる。

　　ｎ−１＝９ｋ＋１。ｎ＝９ｋ＋２
　　　２⁹−２は９で割り切れない。

　　ｎ−１＝９ｋ＋２。ｎ＝９ｋ＋３
　　　３⁹−３は９で割り切れない。

　　ｎ−１＝９ｋ＋３。ｎ＝９ｋ＋４
　　　４⁹−４は９で割り切れない。

　　ｎ−１＝９ｋ＋４　ｎ＝９ｋ＋５
　　　５⁹−５は９で割り切れない。

　　ｎ−１＝９ｋ＋５　ｎ＝９ｋ＋６
　　　６⁹−６は９で割り切れない。

　　(ｎ−１)MOD 9=0,7,8　のときは９で割り切れるが、
　　(ｎ−１)MOD 9=1,2,3,4,5,6,のときは９で割り切れない。

　　したがつて、ｎ⁹−ｎは常に９で割り切れると言えない。

　　反証
　　よって、ｎ^k−ｎは常にｋで割り切れるとは言えない。

【コメント】

【問題４】が成立しないのは残念ですね。

問題を作った合屋さんは
２⁹−２　＝　５１０
５１０　÷　９　＝　５６　・・・　６

の反例を挙げておいでました。

◆東京都　鳳　奥人　さんからの解答。

【問題１】

ｎ³−ｎ＝ｎ(ｎ²−１)＝ｎ(ｎ＋１)(ｎ−１)

これはｎ−１，ｎ，ｎ＋１という３つの連続した自然数をかけあわせたもの。
当然、どれか１つが３の倍数になる。

よってこの数は３で割り切れる。

【問題２】

n⁵-n
= n(n⁴ - 1)
= n(n²-1)(n²+1)
= n(n+1)(n-1)(n²+1)

以下、ｋは０以上の整数とする。

n=5kのとき　　ｎが５でわりきれる。
n=5k+1のとき　n-1が５でわりきれる。
n=5k+4のとき　n+1が５でわりきれる。
n=5k+2のとき　n²+1＝25k²+20k+5 となりこれが５でわりきれる。
n=5k+3のとき　n²+1＝25k²+30k+10となりこれが５でわりきれる。

よってすべてのｎについて、n⁵-n は５でわりきれる。

【問題３】

n⁷-n
= n(n⁶-1)
= n(n³-1)(n³+1)
=n(n-1)(n²+n+1)(n³+1)

以下、ｋは０以上の整数である。

n=7kのとき　　ｎが７で割りきれる。
n=7k+1のとき　n-1が７で割りきれる。
n=7k+2のとき　n²+n+1が７で割りきれる。
n=7k+3のとき　n³+1が７で割りきれる。
n=7k+4のとき　n²+n+1が７で割りきれる。
n=7k+5のとき　n³+1が７で割りきれる。
n=7k+6のとき　n³+1が７で割りきれる。
(考え方は問２と同じなので計算過程は省略)

よってすべてのｎについて、n⁷-nは７で割りきれる。

【問題４】

いえない。

なぜかはわかりませんが、ｋが９以上の３の倍数の時にわりきれない場合が発生しているようです。
(Excelの助けを借りました)

たとえばｎ＝２の場合、ｋ＝９、１５、２１・・・のときには割りきれないみたいです。

◆東京都　bolt さんからの解答。

【問題１、２、３】

Fermatの定理より、pが素数なら、nのp乗をpで割った余りとnをpで割った余りは一致する。
３、５、７は素数であるので、それぞれ題意は示された。
(証明終わり)

【問題４】

kが合成数である場合が反例である。
このとき、少なくともnが、kの１とk自身でない約数であるなら、題意を満たさない。(答)

(証明) nとkの１でない公約数をdとする。
このとき、n^k-1とkもdを公約数に持つことを示す。

仮定よりnはdの倍数なので、その累乗もdの倍数であることは明らかである。
よって、これは成り立つ。

適当な整数a、bをとりn^k-1=ad、k=bdとする。
このとき、剰余の定理よりad = q*bd+rとなるが、rもdの倍数でならなければならないので、
n^k-1をkで割った余りが１と等しくなることはありえない。

以上より、主張が示された。(証明終わり)

◆東京都　かえる　さんからの解答。

【問題２】

ｎ5−ｎ
＝ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１)(ｎ2＋１)
＝ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１){(ｎ−２)(ｎ＋２)＋５}
＝(ｎ−２)(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)＋５(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)

【問題３】

ｎ7−ｎ
＝ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１)(ｎ2−ｎ＋１)(ｎ2＋ｎ＋１)
＝ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１){(ｎ＋２)(ｎ−３)＋７}{(ｎ−２)(ｎ＋３)＋７}
＝(ｎ−３)(ｎ−２)(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)＋７ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１)(ｎ−２)(ｎ＋３)＋７ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ−３)

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