◆広島県 清川 育男さんからの解答。
全て求めなさいとあるので、複数個在るのかと思い、プログラムを組んで、１０から９９まで網羅的に調べましたが、１個しかありませんでした。
３８×３８＝１４４４。
答え ３８。
インチキしてすみません。
【コメント】
いえいえ、問題ありません。
自分も実はコンピュータで確認しましたから。(^_^;
力技以外で解いた方がおいでましたら、またメールくださいね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
２桁の数をχ×１０＋ｙとする。
χは１〜９。ｙは０〜９。の整数。
（χ×１０＋ｙ）2
＝χ2×１００＋２χｙ×１０＋ｙ2。
１）ｙ＝０のとき 題意を満たすＸは存在しない。
２）ｙ＝１のとき ２χの１桁の数が１となるＸは存在しない。
２χは偶数だから。
３）ｙ＝２のとき ４χの１桁の数が４になるのは、χ＝１，６。
１２×１２＝１４４。６２×６２＝３８４４。
ともに題意を満たさない。
４）ｙ＝３のとき ６χの１桁の数が９となるχは存在しない。
６χは偶数だから。
５）ｙ＝４のとき ８χ＋１の１桁の数が６となるχは存在しない。
８χ＋１は奇数だから。
６）ｙ＝５のとき １０χ＋２の１桁の数が５となるχは存在しない。
１０χ＋２は偶数だから。
７）ｙ＝６のとき １２χ＋３の１桁の数が６となるχは存在しない。
１２χ＋３は奇数だから。
８）ｙ＝７のとき １４χ＋４の１桁の数が９となるχは存在しない。
１４χ＋４は偶数だから。
９）ｙ＝８のとき １６χ＋６の１桁の数が４になるのは、χ＝３，８。
３８×３８＝１４４４。８８×８８＝７７４４。３８は題意を満たす。
１０）ｙ＝９のとき １８χ＋８の１桁の数が１となるχは存在しない。
１８χ＋８は偶数だから。
したがって題意を満たす２桁の数は３８です。
答え ３８。
一位、十位の数が同じになるのは、１２。６２。３８。８８。
千位、百位の数が同じで、かつ一位、十位の数が同じになるのは、８８。
これは問題にしても、おもしろいかもしれませんね。
【コメント】
これは完全な分類ですね。
答えが２〜３個あれば、もっと面白い問題なのですが・・・。
よく使うテクニックですが、１０χ＋ｙとすると便利ですね。
◆京都府の大学院生 わかさひ君からの解答。
下２桁が一致する場合をまず考えてみる。
２桁の数を n = 10a+bとすると、
n2 =(10a+b)2 = 100a2 + 20ab + b2。
この下２桁だけ考慮すると、100 a2 は無視できるので、
χ= 20ab+b2 とする。
b2 = 00，01，04，09，16，25，36，49，64，81 であるのと、
第１項が20ab = 2 × 10 × ab 、つまり、この項だけならば
10の位は偶数になることから、
b2の10の位が奇数なら、χ の10の位も奇数、
b2の10の位が偶数なら、χ の10の位も偶数
になる。したがって、χ の下１桁に着目して場合分けすると、
χの下１桁
0 b=0 の時だけなので、常に下２桁は0になる
1 b=1，9ともにχの10の位が偶数になる(1にならない)ので不適
4 b=2，8ともにOK
9 b=3，7ともにχの10の位が偶数になる(9にならない)ので不適
6 b=4，6ともにχの10の位が奇数になる(6にならない)ので不適
5 b=5 の時だが、χの10の位が偶数になる(5にならない)ので不適
したがって、b=0，2，8に限定されることが分かる。
b=2 のとき、2ab の 1の位が4になるので、a=1，6。
b=8 のとき、2ab の 1の位が 4-6 = 8 (mod 10) になるので、a=3，8。
したがって、この結果をまとめると、下２桁が一致するn は、
10の倍数、もしくは、n = 50a ± 12
と書くことが出来る。
これを満たす数の中から、下３桁一致するものを探せば、n = 38 を得る。
もちろんここからさらに一般的な論議を進めても良いのですが…
これは日本数学オリンピック第１回の一次予選問題にありました。
そのときの問題は確か、「下３桁が一致する最小のnを求めよ」だったと思います。
【コメント】
数学オリンピックに類似問題が出題されていたとは知りませんでした。
力技で全部計算して解いたら、やはり予選落ちなんでしょうね。