『１の位の数は？』

『１の位の数は？』解答

◆東京都　ＧＯＹＡさんからの解答。

問題の式　 １
２		 （Ｎ2 −Ｎ＋２）を変形すると
１
２		 （Ｎ（Ｎ−１））＋１　となる。・・(1)

(1)式に含まれる　Ｎ（Ｎ−１）が取りうる１の位を求める。

Ｎを１０ｍ＋ｎと表すと［ｎが１の位、ｍが十の位以上の数字］

　Ｎ（Ｎ−１）
＝（１０ｍ＋ｎ）×（１０ｍ＋ｎ−１）
＝１００ｍ2＋２０ｍｎ−１０ｍ＋ｎ2−ｎ

初項から第３項までは１０の整数倍なのでＮ（Ｎ−１）の１の位は

ｎ2−ｎ　＝　ｎ（ｎ−１）

となり、Ｎの１の位[ｎ]だけの計算と同じとなる。

結果は

　ｎ＝１　…>　０　　６　…>　０
　　　２　…>　２　　７　…>　２
　　　３　…>　６　　８　…>　６
　　　４　…>　２　　９　…>　２
　　　５　…>　０　　０　…>　０

　以上のように０，２，６の３通りしか無い。
この０，２，６をｓとする。

(2)問題の式をｓを使った式に変形する。

Ｎ（Ｎ−１）の結果を　１０ｍ＋ｓ　と表すと（ｍ≧０の整数）

１
２		 （Ｎ（Ｎ−１））＋１＝１
２		 （１０ｍ＋ｓ）＋１

ｍが偶数の時　ｍ＝２ｔとおけば

１
２		 （１０（２ｔ）＋ｓ）＋１＝１０ｔ＋ｓ
２		 ＋１

ｍが奇数の時　ｍ＝２ｔ＋１とおけば

１
２		 （１０（２ｔ＋１）＋ｓ）＋１＝１０ｔ＋６＋ｓ
２

求める結果は１の位の数値なので、１０ｔを無視すると
１
２		 （Ｎ2 −Ｎ＋２）で１の位に現れる数字は
ｓ
２		 ＋１　と　ｓ
２		 ＋６　で求められる。

(3)結果を求める。

　(1)によりｓは０，２，６なので

ｓ
２		 ＋１から　１、２、４，ｓ
２		 ＋６　から　６、７、９

の６つが１の位に現れる数字となる。

よって、 １
２		 （Ｎ2 −Ｎ＋２）で１の位に現れない数は
これらを除く　０，３，５，８　の４つです。

【感想】

Ｎ（Ｎ−１）の１位の数字を求めるには１位の数字だけ計算しても同じだとか、
１
２		 （１０ｍ＋ｓ）の１位の数字はｓ
２		 とｓ
２		＋５である
というのは、ふだん意識しないで用いてますが、まじめに説明しようとすると結構面倒であることを認識した問題でした。

でも、このページを見た人は余計な説明があって読み辛いと思われるでしょうね。

【コメント】

　きちんと証明を書いてくださるので、大変読みやすいです　(^_^
実は私もＮを１０で割った剰余で分類する証明を考えていました。
１０の倍数を無視することで、本質的には同じですね。

◆東京都　鳳　奥人　さんからの解答。

N=20a+b (ａは０以上の整数、ｂは０以上１９以下の整数。
ただしa=b=0とはならない）とする。

また、　 1
2		 (N2 -N+2)＝Ｓとする。

Ｓ＝ 1
2		 (N2 -N+2)
　＝ 1
2		 {(20a+b)2-(20a+b)+2}
　＝ 1
2		 {400a2+20a(b-1)+b(b-1)+2}
　＝200a2+10a(b-1)+ b(b-1)+2
2

１）ｂ＝０のとき
Ｓ＝200a2-10a+1＝10a(20a-1)+1 なので
Ｓの一の位は１である。

２）１≦ｂ≦１９のとき
Ｓ＝200a2+10a(b-1)+ b(b-1)+2
2		 なので

Ｓの一の位は b(b-1)+2
2		 (＝Ｔとする)の一の位に等しい。

※bとb-1は連続した２つの整数なので、片方は絶対偶数。
よってb(b-1)も偶数。当然b(b-1)+2も偶数。
したがってそれを２で割ったＴは必ず整数である

ｂとＴの一の位の組み合わせは下記の通り。

b   Tの一の位
1       1
2       2
3       4
4       7
5       1
6       6
7       2
8       9
9       7
10      6
11      6
12      7
13      9
14      2
15      6
16      1
17      7
18      4
19      2
以上より、Ｓの一の位に現れないのは０、３、５、８の４個。

【コメント】

実はExcelでＮとＴの組み合わせをＮ＝４０あたりまではじきだして、「２０が周期である」ことをつきとめてから考えました。
ちなみに、上の「ｂとＴの組み合わせ」もExcelで求めてあります。

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