『２乗すると・・Part２』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

計算結果をヒントにして規則性を探しました。

　　　　　　　　５2＝２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２５
　　　　　　　２５2＝６２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６２５
　　　　　　６２５2＝３９０６２５．．．．．．．．．．．．．．９０６２５
　　　　９０６２５2＝８２１２８９０６２５．．．．．．．．．８９０６２５
　　　８９０６２５2＝７９３２１２８９０６２５．．．．．．２８９０６２５
　　２８９０６２５2＝８３５５７１２８９０６２５．．．．１２８９０６２５
　１２８９０６２５2＝１６６１６８２１２８９０６２５．２１２８９０６２５
２１２８９０６２５2＝桁あふれ。

　　　　　　　　６2＝３６．．．．．．．．．．．．．．．１０−３＝７
　　　　　　　７６2＝５７７６。．．．．．．．．．．．．１０−７＝３
　　　　　　３７６2＝１４１３７６．．．．．．．．．．．１０−１＝９
　　　　　９３７６2＝８７９０９３７６．．．．．．．．．１０−０＝１０
　　　１０９３７６2＝１１９６３１０９３７６．．．．．．１０−３＝７
　　７１０９３７６2＝５０５４３２２７１０９３７６．．．１０−２＝８
　８７１０９３７６2＝７５８８０４３３８７１０９３７６．１０−３＝７
７８７１０９３７６2＝桁あふれ。

【コメント】

　なるほど、２つに分けて考えると見通しがつきやすいですね。
この結果を見ると、このような数は無限にあることになりますね。
なぜ、こんな規則が出てくるのでしょうか。
また、本当に無数にあるのでしょうか。
疑問がつきません。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

　計算結果をヒントにしての解答その２

１の位の数が５のときをＦ_ｎとする。
１の位の数が６のときをＳ_ｎとする。

Ｆ_４＝９０６２５。Ｓ_４＝９３７６。

　Ｆ_４＋Ｓ_４
＝９０６２５＋９３７６
＝１００００１
＝１０⁴⁺¹＋１。

　Ｆ_５＋Ｓ_５
＝８９０６２５＋１０９３７６
＝１００００１
＝１０⁵⁺¹＋１。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

Ｆ_ｎ＋Ｓ_ｎ＝１０ⁿ⁺¹＋１の関係がみられます。...イ）

Ｓ_ｎ＝１０ⁿ⁺¹＋１−Ｆ_ｎ。ｎ≧４の整数...ロ）

そこで

　Ｆ_ｎ
＝χ×χ
＝（ａ×１０＋ｂ）×１０ⁿ＋χ
＝ａ×１０ⁿ⁺¹＋ｂ×１０ⁿ＋χ...1)
１０ⁿはχより大きい最小のｎとする。
ａ＞０，１０＞ｂ＞０とする。

　（ｂ×１０ⁿ＋χ)²
＝ｂ²×１０²ⁿ＋２χｂ×１０ⁿ＋χ²...2)

2)に1)を代入する。

＝ｂ²×１０²ⁿ＋ａ×１０ⁿ⁺¹＋２χｂ×１０ⁿ＋ｂ×１０ⁿ＋χ...3)

２χｂ≧１０
ｂ×１０ⁿ＋χは題意をみたす。
但しあくまでもｂ≠０のとき。

１）の式が成り立てば、Ｆ_ｎ、Ｓ_ｎはペアで無限に存在することになります。
特にイ）の関係が不思議に思えてなりません。
厳密な証明をお願いします。
以上です。

　仮に無限に存在しないとしても、数の神秘ですね。
何の契機でこの問題を思いつかれたのですか。
偶然とはとても思えません。

【コメント】

　この問題は、大昔のパズルの本にあった問題をヒントにして、大幅に変更を加えたものです。
コンピュータでしらみつぶしに探したら、面白い結果になったので、出題してみました。
確かに（イ）の関係は不思議ですね。
大学生、高校生の方など、どなたか証明していただけませんか。

◆京都府の大学院生　わかさひ君からの解答。

この問題はこう言い替えることが出来ます。

Ｑ : Ａ ＜１０ⁿ なる Ａ に対して
　　 Ａ²＝Ｋ×１０ⁿ＋ＡとなるようなＡを求めよ。

これは、Ａ（Ａ−１）＝ｋ×２ⁿ×５ⁿ

となります。ここで、連続する２整数は

・両方偶数になることはない
・両方５の倍数になることはない

ですから、Ａの候補としては、
原条件 Ａ ＜ １０ⁿ からＡ＝１０ⁿは外れるので、
Ａ＝ｐ×２ⁿ，ｒ×５ⁿのいずれかです。

i)Ａ＝ｐ×２ⁿ(＝α) のとき
Ａ−１＝ ｑ×５ⁿ です。Ａを消去すると
ｐ×２ⁿ −ｑ× ５ⁿ＝１という整数不定方程式になります。 ...(1)

原条件より、p < ５ⁿ , q < ２ⁿ です。...(*)

ii)Ａ＝ｒ×５ⁿ (＝β)のとき
Ａ−１＝ s×２ⁿ です。Aを消去すると
ｒ × ５ⁿ - s × ２ⁿ = 1 という整数不定方程式になります。...(2)

原条件より、ｒ < ２ⁿ , ｓ < ５ⁿ です。

# もちろん、ｐ，ｑ，ｒ，ｓは正の整数です

さて、i)から導かれる解をＡ＝α、ii)の解をＡ＝βとします。
(1),(2)の式を引きます。
２ⁿ（ｐ＋ｓ）＝５ⁿ（ｑ＋ｒ）

２，５は互いに素なのですから、
ｐ＋ｓ＝５ⁿ ×ｔ
ｑ＋ｒ＝２ⁿ ×ｔ
となります。
また、ｐ，ｑ，ｒ，ｓの範囲から、ｔ＝１です。 ...(**)

ここから、α＝ｐ×２ⁿ 等によりｐ，ｑ，ｒ，ｓを消去すれば、
α＋β−１＝ １０ⁿです。

これで清川さんの疑問(イ)は解明されました。

さて、もう一つの問題、無限に解があるかどうかです。
これは、(1)が(*)の範囲内で解を持つことさえ示せば十分です。
# (**)より、あるｎに対してα、βはたかだか１個です。
ｐ×２ⁿ−ｑ×５ⁿ＝１

# ＧＣＭ(２ⁿ,５ⁿ)＝１より、整数論の定理から、必ずこの方程式は解を持ちます。証明略

の整数解の一つを Ｐ，Ｑとすると、
Ｐ’＝Ｐ＋ａ×５ⁿ ,
Ｑ' ＝Ｑ＋ａ×２ⁿ (ａは整数)も解です。

したがって、少なくとも Ｐの解に、
０＜Ｐ＜５ⁿ が存在することが分かります。
このときＱの解も、この不等式と(1)式から、
０＜Ｑ＜２ⁿ であることが導けます。

これは条件(*)と一致してます。

したがって、解はあるｎに対してα、βが必ず１つずつ決定するので、無限にあることが証明されました。

# 解の構成方法(問題１)はまた別の問題になるのでここでは控えておきます。
# 帰納法で導けるはずですが。

【コメント】

　さっそく証明していただいてありがとうございます。
解の構成方法については、ヒントをもとにどなたか解いてくださいね。

◆東京都　鳳　奥人　さんからの解答。

6²＝6*5+6＝36
25²＝25*24+25＝625

元の数をｎとすると、ｎがｋ桁の数であるなら、
ｎ(ｎ−１)が10^kの倍数であればよい。
（※このｎを求める問題は小学生からの挑戦状シリーズのどこかにあったような気が・・・）

元の数が

１桁の場合　ｎ＝５、６
２桁の場合　ｎ＝２５、７６
３桁の場合　ｎ＝３７６、６２５

・・・など

おや。よく見ると

　　５　　　６
　２５　　７６
６２５　３７６

たとえば左の「５」系統では ｎが１桁のときはｎ＝５

ｎが２桁のとき、
ｎ＝10a+5（aは0〜9の整数）と書けるので

n(n-1)=(10a+5)(10a+4)=100a2+90a+20

ｎが３桁のとき、
ｎ＝100a+25と書けるから

n(n-1)=(100a+25)(100a+24)=10000a2+4900a+600

ｎが４桁のとき、
ｎ＝1000a+625と書けるから

n(n-1)=(1000a+625)(1000a+624)=1000000a2+1249000a+390000

ｎが５桁のとき、
ｎ＝10000a+0625と書けるから

n(n-1)=(10000a+0625)(10000a+0624)=100000000a2+12490000a+390000

右の「６」系統も同様に求められます。

ｎが１桁：ｎ＝６

ｎが２桁：

n(n-1)=(10a+6)(10a+5)=100a2+110a+30→a=7, n=76

n(n-1)=(100a+76)(100a+75)=10000a2+15100a+5700→a=3, n=376

というわけで、無限にありそうですね。
「この２系統以外には存在しない」ことの証明は、できませんが・・・

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