◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
条件を満たすＮ個の正整数の中には、２、３が含まれるというのが必要条件だと思います。
この問題の核心部分だと思いますが、直観的には解るのですが証明出来ません。３個の場合（２，３，５）
４個の場合（２，３，７，４１）、
（２，３，１１，１３）
５個の場合（２，３，７，８３，８５）、
（２，３，１１，１７，５９）
方程式ないしは不定方程式で求めることが出来ると思います。
６個以上はないように思います。証明なしでごめんなさい。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
訂正します。
６個の場合 （２，３，７，５３，２７１，７９９）
ありました。
追加
２，３以外の正整数の必要条件
Ｘ≡1 (mod 6) または Ｘ≡-1 (mod 6)
のようです
◆埼玉県 \aleph_0 さんからのコメント。
与えられた条件を満たす正の整数の有限列はGiuga数列と呼ばれています。
無限に多くのGiuga数列が存在することが知られています。[1]
ちなみに、元々のGiugaの問題は、nが素数ならば、Fermatの定理より
(1.1) 1n−1＋2n−1＋...＋(n−1)n−1≡−1 (mod n)となることに注目し、この逆が成立するかというものです。
◆出題者の 安里歩安彼 さんからのコメント。
コメント、ありがとうございました。
giuga数などのことは僕も知りませんでした。
ちなみに、この問題の出典は本年度のJMO本選です。
いちおう、証明の簡単な方針だけ述べておくと、
★２以上の任意の自然数ｎに関して、次を満たすｐ1，ｐ2…，ｐnが存在する。
| １〜ｎまでの任意の数iに対して、 ｐ1〜ｐnからｐiをのぞいたものをすべて掛け合わせたものを、 ｐiで割った余りが−１。 |
このことを帰納法を使って示した上で、命題を示すということです。