◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
n=2, p=4
A1=x，A2=y
x2+4y2=4xy
つまり x=2y → x=2, y=1 も解のひとつ。
矛盾。
【コメント】
問題訂正です。
（誤）２以上の整数ｐ
（正）素数ｐ
現在の問題は訂正済みです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
(1)等式
A1n＋ｐ･A2n＋ｐ2･A3n＋･･･＋ｐn-1･Ann＝ｐA1A2A3･･･An(2)Anの拡張定義
Ａi+n＝Ａi／ｐ i=1〜ｎ
(3)定義
Ｆ(n,i)＝Ａ1+in＋ｐＡ2+in＋ｐ2Ａ3+in＋ｐ3Ａ4+in＋ｐ4Ａ5+in…＋ｐn-1Ａn+in Ｇ(n,i)＝ｐＡ1+iＡ2+iＡ3+iＡ4+i…Ａn+iとおく。
(4)等式の再表記
(3)を用いると
Ｆ(n,0)= Ｇ(n,0)である。
(5)定義式より
Ｆ(n,0) mod ｐ＝Ａ1n
Ｇ(n,0) mod ｐ＝０ である。
よって (1)を満足するには Ａ1 mod ｐ＝０ でなければならない。
従って Ａ1+nは整数。
この条件を用いると
Ｆ(n,0)
＝ｐnＡ1+nn＋ｐＡ2n…＋ｐn-1Ａnn
＝ｐＡ2n…＋ｐn-1Ａnn＋ｐnＡ1+nn
＝ｐＦ(n,1)
Ｇ(n,0)
＝ｐ2Ａ1+nＡ2Ａ3Ａ4…Ａn
＝ｐ2Ａ2Ａ3Ａ4…ＡnＡ1+n
＝ｐＧ(n,1)
より、Ｆ(n,1)＝Ｇ(n,1) が成立しなければならない。
(6)一般に Ａk k≦n+iが整数であるとき、
Ｆ(n,i)＝Ｇ(n,i)が成立するとき、Ａi mod ｐ＝０ でなければならず，
Ａk k≦n+i+1 は整数で、Ｆ(n,i+1)＝Ｇ(n,i+1) でなければならない。
∵
Ｆ(n,i) mod ｐ＝Ａi+1n
Ｇ(n,i) mod ｐ＝０ である。
よってＦ(n,i)＝Ｇ(n,i)を満足するには
Ａi+1 mod ｐ＝０ でなければならない。
従って Ａi+nは整数である。
この条件を用いると
Ｆ(n,i)
＝ｐnＡ1+n+in＋ｐＡ2+in…＋ｐn-1Ａn+in
＝ｐＡ2+in…＋ｐn-1Ａn+in＋ｐnＡ1+n+in
＝ｐＦ(n,1+i)
Ｇ(n,i)
＝ｐ2Ａ1+n+iＡ2+iＡ3+iＡ4+i…Ａn+i
＝ｐ2Ａ2+iＡ3+iＡ4+i…Ａn+iＡ1+n+i
＝ｐＧ(n,1+i)
より、Ｆ(n,1+i)＝Ｇ(n,1+i) が成立しなければならない。
(7)【問題１】以上より数学的帰納法により
Ａiはｐの倍数である。
(8)【問題２】Ａiのiに関し、証明上特に上限はなかった。
したがって、(2)より
Ａi＝ｐＡｉ+n＝ｐ2Ａｉ+2n＝ｐ3Ａｉ+3n…＝ｐKＡｉ+KnＡiはｐの任意乗の倍数である。そのような条件を満足する整数は０のみである。
以上
【感想】
このような関係は初めてで、大変興味深く参考になりました。
◆大阪府 河野 進 さんからのコメント。
最初に「2以上の整数 p」となっていたのを見て反例を考えましたが
n = 2, p = 4 以外には見つけることができませんでした。
問題を A1，･･･， An についての方程式が自明でない整数解を持たないと主張していると考える と、p の素因数分解で少なくとも一つの素因数について、その指数が n と互いに素であれば正しいと思います。
そこで２つの方向から問題が考えられます。
１つは、非自明な整数解を持つ全ての (n, p) を求める事です。
もう１つは、非自明な整数解を持たない様な、
できるだけ弱い (n, p) に対する条件を求める事です。
これは、よく知られている事でしょうか？
面白い問題だと思いました。