◆海外の大学生 Hirasawa Yasutakaさんからの解答。
（University of North Carolina at Chapel Hill）
Angle DCB = 40:
Triangle AEC is isosceles (angle DCE = 10). Thus AE = CE.
Extend line AB from point B.
Set point F on the extension so that FE = AE = CE...(0)
Tringle EFC is equilateral.
Thus angles ECF = CEF = EFC = 60.
Thus angle BEF = 20...(1)
Triangle EAF is isosceles.
Thus angle EFB is 20...(2)
(1) and (2) imply triangle BFE is isosceles and BE = BF...(4)
(0) and (4) imply triangles EBC and FBC are congruent, thus angles ECB = FCB = 30.
Angle DCB = angle ECB + angle DCE = 30 + 10 = 40.
This problem was so easy.
Took me just 5 minutes to figure out.
Or am I improving?
＜青木訳＞信用しないでくださいね。(^_^;
答え ∠ＤＣＢは４０度
△ＡＥＣは二等辺三角形（∠ＤＣＥ＝１０度）。
したがってＡＥ＝ＣＥ。
点Ｂから直線ＡＢを延長し、ＦＥ＝ＡＥ＝ＣＥとなる点Ｆを取る。・・(0)
△ＥＦＣは正三角形。
したがって
∠ＥＣＦ＝∠ＣＥＦ＝∠ＥＦＣ＝６０度
したがって∠ＢＥＦ＝２０度。・・(1)
△ＥＡＦは二等辺三角形。
したがって∠ＥＦＢは２０度。・・(2)
(1),(2)より△ＢＦＥは二等辺三角形でＢＥ＝ＢＦ。・・(4)
(0),(4)より△ＥＢＣと△ＦＢＣは合同。
したがって∠ＥＣＢ＝∠ＦＣＢ＝３０度。
∠ＤＣＢ＝∠ＥＣＢ＋∠ＤＣＥ＝３０＋１０＝４０度。
この問題は簡単でした。
解決するのにたった５分間でした。
それとも私が進歩したのか？・・・
【コメント】
４０゜で正解です。
点Ｆの取り方がポイントなんでしょうね。
角度の計算問題もたくさん作れるものだと感心しています。
◆大阪府の中学校２年生 小悪魔 さんからの解答。
ＣＢを伸ばし、Ａから下ろした垂線との交点をＧとする。
条件から∠ＡＢＤ＝４０°
（∠ＥＤＣ＝７０°より∠ＥＤＡ＝１１０°
△ＡＥＤの外角なので∠ＡＥＢ＝１２０°
△ＡＢＥの内角から∠ＡＢＤ＝４０°）
∠ＡＦＢ＝９０°となる点Ｆを∠ＡＢＤの二等分線上にとる。
△ＡＦＢは直角三角形だから∠ＦＡＤ＝４０°
∠ＢＡＨ＝２０°となるように点Ａから直線ＣＢに線を引く。
すると、∠ＦＡＨ＝９０°となる。
また、∠ＨＡＢ＝∠ＡＢＦ＝２０°より
∠ＦＢＨ＝９０°であることがわかる。
すなわち、∠ＡＢＧ＝７０°。
よって、∠ＥＢＣ＝７０°であることがわかる。
△ＥＢＣの内角だから∠ＥＣＢ＝３０°
よって、∠ＤＣＢ＝４０°
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
図のようにＢＤをＤの側に延長しＡＥ＝ＥＦなるＦをとると
∠ＡＥＦ＝６０°なので△ＡＥＦは正三角形となる。
またＡＥをＥの側に延長しＢＥ＝ＥＧなるＧをとると
∠ＢＥＧ＝６０°なので△ＥＢＧも正三角形となる。
∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＧ＝１８０°−６０°＝１２０°だから，
２辺夾角が等しいので
△ＡＥＢ≡△ＦＥＧ
∴∠ＥＦＧ＝２０°，∠ＥＧＦ＝４０°
一方∠ＤＣＥ＝８０°−７０°＝１０°＝∠ＥＡＤ
∴△ＡＥＣは二等辺三角形
よってＡＥ＝ＥＣ＝ＥＦ
∴△ＦＥＣは二等辺三角形となる。
∴∠ＥＦＣ＝∠ＥＣＦ＝８０°／２＝４０°
また∠ＦＧＥ＝６０°−２０°＝４０°だから
円周角が等しく，Ｅ，Ｆ，Ｃ，Ｇは同一円周上の点である。
∴∠ＥＣＧ＝∠ＥＦＧ＝２０°（円周角）
また∠ＣＥＧ＝８０°−６０°＝２０°だから
△ＣＥＧは二等辺三角形となる。
△ＥＢＧは正三角形だからＥＧ＝ＧＣ＝ＧＢ
∴△ＧＢＣは
頂角８０°＋６０°＋２０°＝１６０°の二等辺三角形となる。
∴∠ＧＣＢ＝（１８０°−１６０°）／２＝１０°
したがって∠ＢＣＤ＝１０°＋２０°＋１０°＝４０°
ところで この問題の大阪の小悪魔さんの解答に疑問があります。
解答文の終わりから５行目の結論がわかりません。
【コメント】
確かに変ですね。
どう直すのがベストでしょうか。