「素数の秘密」解答

◆東京都の会社員　ＤＵＭＭＹさんからの解答。

０．初期設定

　循環小数は、循環部分が必ずしも小数点第一位からはじまるとは限りません。例えば、

１ ―― ６

＝０．１６６６６６…

であり、はじめの１は循環の一部ではありません。

このような状況をふまえて、循環の一部ではない箇所の桁数をｍ桁とおき、値をａとします。

また、循環部分の桁数は偶数であるので、桁数を２ｎ桁とし、前半ｎ桁の値をｂ、後半ｎ桁の値をｃとします。

例えば、循環小数が次のような場合、

　　０．１２３４５６７８９４５６７８９…

　ｍ，ｎ，ａ，ｂ，ｃは次のようになります。

　　ｍ＝３
　　ｎ＝３
　　ａ＝１２３
　　ｂ＝４５６
　　ｃ＝７８９

　当然のことながら、ｍ，ｎ，ａ，ｂ，ｃは正の整数となります。
（ただし、ｎ以外は０を含む）

また、ｂ≠ｃとなります。
ｂ＝ｃでは循環部分がｂだけになってしまい、最初の設定にあわなくなるからです。

　さて、ここまで準備をしたところで、循環小数を分数にして表してみると、

ａ ――― １０m

＋

１０n・ｂ＋ｃ　 ―――――――――― １０m・(１０2n−１)

　となります。
（循環小数を分数にするやりかたは有名なので割愛させていただきます）

　ここで、素数をｐとおくと、この式は１／ｐのことなので、

１ ――― ｐ

＝

ａ ――― １０m

＋

１０n・ｂ＋ｃ　 ―――――――――― １０m・(１０2n−１)

…　（１）

　となります。

１． １０ⁿ＋１がｐで割り切れることの証明

　（１）を変形すると次のようになります。

１０m・(１０2n−１) ―――――――――― ｐ

＝(１０2n−１)・ａ＋１０n・ｂ＋ｃ…　（２）

　ここで、右辺は整数なので、１０^m・（１０²ⁿ−１）はｐで割り切れることになります。また、

　１０²ⁿ−１＝（１０ⁿ＋１）・（１０ⁿ−１）

　であり、１０^m、１０ⁿ＋１、１０ⁿ−１はどれも整数なので、これらは（２）の左辺の分子の約数になります。

ところで、ｐは素数であるので、
１０^m、１０ⁿ＋１、１０ⁿ−１のうちの少なくともどれか一つがｐを約数に持つことになります。

　まず、１０^mがｐを約数に持つと仮定してみます。

　１０^m＝２^m・５^m

　であり、ｐは素数なので、ｐが１０^mの約数となるためには、２または５でなければなりません。しかし、ｐが２でも５でも、１／ｐは循環小数にならないので、ｐは２でも５でもないことになります。
したがって、ｐは１０^mの約数ではないことが分かります。

　次に、１０ⁿ−１がｐを約数に持つと仮定してみましょう。
１０ⁿ−１をｐで割ったときの商をｄとすれば、

　１０ⁿ＝ｄ・ｐ＋１　…　（３）

　となります。ところでｅ、ｆを正の整数（ただしｐより小さい）とすれば、

　　　１０^m＝ａ・ｐ＋ｅ
　ｅ・１０ⁿ＝ｂ・ｐ＋ｆ　…　（４）
　ｆ・１０ⁿ＝ｃ・ｐ＋ｅ　…　（５）

　となります。（３）の両辺をｅ倍すると、

　ｅ・１０ⁿ＝ｄ・ｅ・ｐ＋ｅ

　となるのですが、ｅはｐより小さいので、この式は、ｅ・１０ⁿをｐで割ったときの関係式となります。
また、（４）も同じくｅ・１０ⁿをｐで割ったときの関係式を表す式なので、それぞれの余りにあたるので、

　ｆ＝ｅ

　となります。このことを（４）（５）に代入すると、

　ｅ・１０ⁿ＝ｂ・ｐ＋ｅ
　ｅ・１０ⁿ＝ｃ・ｐ＋ｅ

　となり、この２式から

　ｂ＝ｃ

　となります。しかし、ｂ≠ｃなので矛盾が生じます。したがって、
１０ⁿ−１はｐで割り切れないことになります。

　１０^mも１０ⁿ−１も、ｐを約数に持たないことが判明したので、この結果
１０ⁿ＋１がｐを約数にもつことになります。つまり、

　１０ⁿ＋１はｐで割り切れる　…　（６）

　ことになります。

２．

１０m・（１０n＋１） ――――――――― ｐ

が（１０n＋１）･ａ＋ｂ＋１であることの証明

　（１）の両辺に１０^m・１０ⁿをかけ、右辺を変形すると次のようになります。

１０m・１０n ――――――― ｐ

＝１０n・ａ＋ｂ＋

ｂ＋１０n・ｃ ―――――――― １０2n−１

…　（７）

　ここで、ｂ＋１０ⁿ・ｃは循環部分の前後を入れ換えただけなので、最高でも２ｎ桁の整数であり、
また、ｂ≠ｃなので、１０²ⁿ−１になることもありません。
したがって、２ｎ桁で最大の整数である１０²ⁿ−１以上になることはないので、次のようになります。

０＜

ｂ＋１０n・ｃ ――――――― １０2n−１

＜１

各辺に１０n・ａ＋ｂ＋

１０m ―――― ｐ

を加え、（７）を代入すると、

１０n・ａ＋ｂ＋

１０m ―――― ｐ

＜

１０m・(１０n＋１) ――――――――― ｐ

＜１０n・ａ＋ｂ＋１＋

１０m ―――― ｐ

　　…　（８）となります。
ところで、１０^mをｐで割ったときの商はａであり、１０^mはｐで割り切れないので、

ａ＜

１０m ――――― ｐ

＜ａ＋１

　となります。したがって、（８）とあわせて考えると、

(１０n＋１)・ａ＋ｂ＜

１０m・(１０n＋１) ―――――――― ｐ

＜(１０n＋１)・ａ＋ｂ＋２

　となります。
（６）より、１０ⁿ＋１はｐで割り切れるので、中辺は整数になるのですが、
この範囲にある整数は（１０ⁿ＋１）ａ＋ｂ＋１しかないので、

１０m・（１０n＋１） ――――――――― ｐ

＝（１０n＋１）・ａ＋ｂ＋１　…　（９）

　となります。

３．　ａ＋ｂが９９９…９９９になることの証明

　（９）を（１）に代入して、変形すると、

　ｃ＝−ｂ＋１０ⁿ−１

　となります。したがって、

　ｂ＋ｃ＝１０ⁿ−１

　となります。
ここで、１０ⁿ−１は９がｎ桁つづく数字のことですから、ｂ＋ｃはすべての位が９であるということになり、題意が証明されたことになります。

［感想］

　割り切れるかどうかを示すのに背理法を利用することと、範囲内にある整数が一つしかないので、値が一意にきまる、というところに行き着くまでが大変でした。
最初は、連立方程式で解くには、変数の多さに比べ式が少なすぎるということで、素数であるというのを何とかして式表現しようとしたりもしてました。
背理法による証明を思いついたあとも、ｐが合成数の場合、どれもｐを約数にもたなくても、全体を割り切ることもあるいうことに気がつかず、ｐが素数であるという条件をつかわずに解けてしまったので、素数に限らず成り立つのではないかなんて思ったりもして…。
でもまあ、なんとかここまでたどりつけてほっとしています。
　なお、最初は小数第一位から循環が始まると想定してやっていたため、ｍやａにあたる変数はありませんでしたし、また、ｂ、ｃと記載されているものは当初ａ、ｂと記述していたので、書き換えそこなっての記述ミスがあるかもしれません。そのさいはご容赦願います。

【コメント】

　すばらしい証明をありがとうございます。
完全に確認した自信はないのですが、証明されていると思います。
宮崎隆行さんにもさっそく知らせてあげようと思います。
どうもありがとうございました。

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