◆海外の高校生 宮崎隆行さんからの解答。
まず、１/７を例にとって考えてみましょう。
１/７は６桁の循環小数です。そこで、
(1/7)*1000
=(1/7)*103 という数字を考えてみます。
この数は142.857 142 ...となり循環部分が1/7とは逆になっています。
ここで
142.857 142 857... /* 1000*(1/7) */
＋ 0.142 857 142... /* 1* (1/7) */
――――――――――――――――――――
142.999999999... /* 1001*(1/7) */
また、1001/7=整数ということが分かります。
他の素数も見てみると
1001/13=77 /* 1/13=0.0 769230 769230 ... */
100000001/17=5882353 /* 1/17=0.0 5882352941176470 588... */
というようにこの様な循環小数は100...1を割り切ることが分かります。
厳密にいえば、循環部分の桁数をｎとする時、10n/2＋1を割り切る。
しかし、上の例で示したように、循環小数+循環小数は、けっして簡単な整数にはなりません。
何故なら分数部分に終わりが無いからです。
よってこの和は、nnn.9999...という形になるはずです。
0.999...=1ですから整数になるわけです。
付記：なぜ nnn.000...1とならないかは下を見ていただければ分かると思います。
0.462 846 462 846 ...
+0.648 264 648 264 ...
―――――――――――
1.000 000 ...
循環部分が逆順になってしまいます。
なぜ10n/2+1を素数が割り切るかは分かりませんでした。
これを証明しようと随分時間をかけてしまいました。
ちなみにこの商も（素数でなくとも）、同じ性質を持ちます。
1001/7=134
1001/13=77 など
【コメント】
ずいぶん証明が単純化されましたね。
残るは、「循環小数である"１／素数"の循環部分の桁数をｎとすると、10n/2+1をその素数が割り切る。」
ことの証明のみですね。
しかし、これはかなりの難関のようです。
私も考えてみますが、どなたか正解のわかった方、メールお願いいたします。