『かけ算の不思議』解答

◆栃木県　銭場　克己さんからの解答。

問題１

1234の場合をやると、

1234x9+5 （左辺）
=(1111+111+11+1)ｘ9+5
=(9999+999+99+9)+(1+1+1+1)+1
=(9999+1)+(999+1)+(99+1)+(9+1)+1
=10000+1000+100+10+1
=11111（右辺）

他も同様

問題２

9876の場合をやると、

9876x9+4+1234x9+5
=(9876+1234)x9+9
=11110x9+9
=99999

ゆえに、問題１の1234の場合を使って、

9876x9+4（左辺）
=99999-1234x9+5
=99999-11111
=88888（右辺）

他も同様

問題３

n番目の式は、問題1の最後の式
12345678x9+9=111111111を使って、

12345679xnx9（左辺）
=(12345678+1)xnx9
=(12345678x9+9)xn
=111111111xn（右辺）

問題４

12345の場合をやると

問題１の5番目12345x9+6=111111を使って

12345x8+5（左辺）
=12345x9+6-12345-1
=1111111-12345-1
=(100000+10000+1000+100+10+1)-(10000+2000+300+40+5+1)-1
=(100000-10000)+(10000-2000)+(1000-300)+(100-40)+(10-5)
=90000+8000+700+60+5
=98765（右辺）

他も同様

感想

ビリヤードのへんてこな回答の掲載とメールありがとうございました。
気を良くして「未回答」をまた見つけたので考えてみました。

• 問題１は、さいしょ数学的帰納法で

  1≦n≦9

  A(n)=n!x9+(n+1)とおいて、

  A(1)=11
  A(n+1)=(n+1)!x9+(n+2)
  =n!x9x10+(n+1)x9+n+2
  =(n!x9+(n+1))x10-(n+1)x10+(n+1)x9+(n+1)+1
  =A(n)x10+1

  Q.E.D.

  と思ったが、中学では帰納法も数列もやらない？からアンフェア。

• Ｎ進数でも同様のことは出来て、
  A(n+1)=A(n)xN+1になる。

  たとえば16進数だと

  1xF+2=11
  12xF+3=111
  ・・・・
  ・・・・
  123456789ABCDExF+F =111111111111111
  123456789ABCDEFxF+10 =1111111111111111

• 問題はA(N-2)まででA(N-1) がないが、あってもよい。

  2進数だと
  1x1+10=11だけ、という場合もあるので。

• 紙を使うと、たて計算したときに各桁の和が順列になったり、全部Nになったり、
  1111=1000+100+10+1などをたてに並べて２次元で説明的に書いたりできるが、キーボードでできる表現はなかなか難しいと思いました。
  本当のエレガントな回答が知りたいです。

• たいへん素晴らしいサイトなのでこれからもコンテンツが増えるのが楽しみです。
  私もJAVAを勉強し始めましたが、このように有効に使いこなしている所は他にはないと思います。
  アプレットを使うということがちょうどよい大きさで役に立っていますね。
  何を入力させて何を見せるか、ＨＴＭＬとどう協調させるかなど、コンセプトを考える上でもたいへん参考になります。

【コメント】

　エレガントな証明ありがとうございました。
確かにキーボードからの入力で表現するというのは大変難しいですね。
使える図も制限されるし、この辺がインターネットの課題ですね。
こまったら高岡中学校にＦＡＸで解答を送っていただいても良いですよ。
この問題は他にもいろいろな解答がありそうですね。
思いついた方、また解答をお願いいたします。

◆京都府の中学校３年生　猿の惑星 さんからの解答。

問題３

Ａを増加する数
Ｂを定数
Ｃを減少する数

　　Ａ　Ｂ　Ｃ
１．９×９＋７＝８８

２．９８×９＋６＝８８８

３．９８７×９＋５＝８８８８

４．９８７６×９＋４＝８８８８８　　　・・・

まず、２．と１.のＡとＣの差を出す。
ＡとＣの差を計算すると、
２．と１．のＡの差は、８９になり、
２．と１．の差は−１になる。

それらを、式にすると
８９×９−１は８００となり、
２.−１．＝８８８−８８＝８００と等しいことが分かる。

これをもとに、
２．と３．の差は８０００・・・となっていくので
Ａが１桁増えるごとに、
８００、８０００・・・とたしていけばよい。

◆東京都　鳳　奥人　さんからの解答。

【問題１】

a<n>を１からｎまでの数を昇順で並べてできるｎ桁の数とします。
（つまり、a<1>=1, a<2>=12, a<3>=123, ...）
ただしｎ＝０のときa<n>＝０とします。

すると、各式の左辺はa<n>×９＋(n+1)の形で書けます。
さらにこれをA[n]とおきます。

a<n+1>＝a<n>×10＋(n+1) であることは明白です。

というわけで、

　A[n+1]
＝a<n+1>×９＋(n+2)
＝(a<n>×10＋(n+1))×9＋(n+2)
＝a<n>×9×10＋(n+1)×9＋(n+1)+1
＝a<n>×9×10＋(n+1)×10+1
＝(a<n>×9＋(n+1))×10＋1
＝A[n]×10＋１

つまり、A[n+1]はA[n]の末尾に１をくっつけた数、です。

A[0]＝０×９＋１＝１ですから
当然A[1]＝11、A[2]＝111・・・となっていきます。

【問題２】

これも問題１と同じように考えてみます。

９から９−(n-1)までの数を降順で並べてできる数をb<n>とします。
（b<1>=9, b<2>=98, b<3>=987, ...）
ただしb<0>＝０とします。

各式の左辺はb<n>×9＋(8-n)とかけます。
さらにこれをB[n]とおきます。

また、b<n+1>＝b<n>×10＋(9-n)であることは明白です。

　B[n+1]
＝b<n+1>×9＋(7-n)
＝(b<n>×10＋(9-n))×9＋(7-n)
＝b<n>×9×10＋((8-n)+1)×9＋((8-n)-1)
＝b<n>×9×10＋(8-n)×10＋9−1
＝(b<n>×9＋(8-n))×10＋8
＝B[n]×10＋8

つまり、B[n+1]はB[n]の末尾に8を追加した数です。

B[0]＝０×10＋８＝８　ですから、
B[1]＝８、B[2]＝88、B[3]＝888・・・となっていきます。

【問題３】

これは、最初の「12345679×1×9＝111111111」さえ説明できれば、残りは「それを２倍、３倍、４倍・・・した数だから」ですんでしまいます。

というわけで、焦点は最初の１つのみ。

　12345679×1×9
＝12345679×9
＝(12345678＋1)×9
＝12345678×9＋9

これは問題１と同じ表記ですね。
よって、問題１より、この数は11111111となる。

【問題４】

問題１同様、a<n>を１からｎまでの数を昇順で並べてできるｎ桁の数とします。
（つまり、a<1>=1, a<2>=12, a<3>=123, ...）
ただしｎ＝０のときa<n>＝０とします。

各式の左辺はa<n>×8＋nとかけます。
さらにこれをC[n]とおきます。

すると、問題１の結果を利用して

　C[n]
＝a<n>×8＋n
＝a<n>×9＋(n+1)−a<n>＋1
＝(A[n]−1)−a<n>

A[n]というのは１が(n+1)個並んでいる数でした。
そこから１を引くというのはすなわち１がｎ個並び、最後に０が１個ある数。つまり

A[n]-1＝10ⁿ＋10^n-1＋10^n-2＋・・・10²＋10¹

で、

a<n>
＝1×10^n-1＋2×10^n-2＋3×10^n-3＋・・・＋(n-1)×10¹＋ｎ×10⁰

よって、

　(A[n]-1)-a<n>
＝(10-1)×10^n-1＋(10-2)×10^n-2＋(10-3)×10^n-3＋・・・＋{10-(n-1)}×10¹＋(10-n)×10⁰

つまり、９から10-nまでの数を降順にならべてできる数となります。

当初、問題１・２の結果を利用して、

C[n]＝A[n]-(a<n>+1)＝B[n]/8−(a<n>+1)＝・・・＝b<n>

とやってみようと思っていたのですが、途中で「C[n]＝b<n>を結論ではなく仮定として使わないと証明ができない」という「循環参照」に陥り、断念しました。

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