『９９９・・・』

『９９９・・・』解答

◆愛知県　Teruo Gotoさんからの解答。

【問題１】

１
――
Ｎ
は、小数にすると必ず循環小数になります。

循環小数は
１
――
９		＝０．１１１・・・・

１
―――
９９		＝０．０１０１０１・・・

１
―――
９９９		＝０．００１００１００１・・・

であることを使って分数にすることができる。

例
　０．１２３１２３１２３・・・
＝０．００１００１００１×１２３
＝ １
――――
９９９		×１２３
＝ １２３
――――
９９９

だから、１
――
Ｎ		も
このような、分母の数字がすべて９の分数で表すことができる。

したがって、例えば、
１
――
Ｎ		＝ ａｂｃｄｅｆ
―――――――
９９９９９９		であれば

Ｎ＝ ９９９９９９
―――――――
ａｂｃｄｅｆ		なので、

ａｂｃｄｅｆをかければ９９９９９９になります。

とてもおもしろい問題がたくさんあって楽しませてもらっています。
時々、Central Frolida大学の問題に挑戦しています。
例えばこのページを見てください。

【コメント】

　９０％正解だと思います。
一点だけ問題に思ったことがあります。
それは１／Ｎが循環小数であっても「分母の数字がすべて９の分数で表すことができる」とは言えないことです。
例えば０．００２３２３２３・・・といった循環小数は、分数だと２３／９９００です。
したがって１／Ｎが、小数点以下の一桁目から循環する小数であることを証明する必要があります。
ぜひ修正してみてください。

【東京都　城　あさみさんからのコメント】

１／Ｎが、小数点以下の一桁目から循環する小数であることを証明する必要があるのではなくて(実際に循環しない場合がある)、
分母が99・・9900・・00となることもあり得ることを考慮して証明を修正すればいいと思います。

(証明)
１
――
Ｎ		は、ある循環小数になるから、
１
――
Ｎ		＝χ
――――――――――――――
999・・999000・・・000

と表せる。
(ここに、χとはある自然数のこと)

従って Ｎ×χ＝999・・・999000・・・000となるが、
Ｎは２，５のどちらとも互いに素だから
9999・・・999の約数でなければならない。

換言すれば、Ｎを何倍かすれば９並びの数にすることができる。

◆東京都　城　あさみさんからの解答。

【問題１】

９              ………… 一列目
９９            ………… 二列目
９９９          ………… 三列目
９９９９        ………… 四列目
９９９９９      ………… 五列目
…
…
…
…
９９９９９９………９９９９９９ …Ｎ列目
(a)：ある列がＮで割り切れるとき

　これは何も言うことなし

(b)：どの列もＮで割り切れないとき

　各列をＮで割った余りは「1〜Ｎ−１」のどれかであり、Ｎ−１通りの余りに対して Ｎ個の列があるから、ある２つの列をＮで割った余りは一致する。

双方を差し引くと
９９９９９………９９９９９×１０００……０００となり、これはＮで割り切れる。

そして、Ｎと１０００……０００とは互いに素(共通な因数を持たない)なので
９９９９………９９９９９はＮで割り切れねばならない。

つまり換言すれば、Ｎを何倍かしたら
９９９９………９９９９９になる。

更にいうと、オイラーの定理を使えば一発です。

１０φ(Ｎ)≡１(modＮ)　(φはオイラー関数)

故に、ある９９９９９………９９９９９はＮで割り切れる。

【コメント】

　これもまた鮮やかな解答ですね。
私はもう少し力技での証明を考えていました。

◆石川県　マイマイプーさんからの解答。

　上の解答を参考にしました。

【問題２】

1234567890         　　　　　　　………… 一列目
12345678901234567890         　　………… 二列目
123456789012345678901234567890   ………… 三列目
…
…
…
…
12345678901234567890………1234567890 　 …Ａ列目
(a)：ある列がＡで割り切れるとき

　これは何も言うことなし

(b)：どの列もＡで割り切れないとき

　各列をＡで割った余りは「1〜Ａ−１」のどれかであり、Ａ−１通りの余りに対して Ａ個の列があるから、ある２つの列をＡで割った余りは一致する。

双方を差し引くと
1234567890………×100……000となり、これはＡで割り切れる。

換言すれば、Ａを何倍かしたら
1234567890………×100……000になる。

【コメント】

　これもまた「鳩の巣箱の原理」を使った解答ですね。
「Ｎ箱の巣箱に（Ｎ＋１）羽の鳩を入れるとすると、ある巣箱には２羽以上の鳩が入る」という当然のような原理ですが、かなり応用が広いですね。
他にもこの原理を使った面白い問題をご存じの方は、ぜひお知らせください。

◆栃木県の高校生　うひょーさんからの解答。

【問題１】

ｎ−１個の９からなる９９９・・・９９９は、
１０n-1−１と置ける。

これがｎで割り切られる条件を合同式で表わすと、
１０n-1−１≡０(ｍｏｄ ｎ)
つまり、１０n-1≡１(ｍｏｄ ｎ）−@

フェルマーの小定理より、ｎと１０が互いに素なので、@の式は成り立つ。

よって題意は証明された。

これが本当にあっているのかどうかあまり自信がないけど、
１００・・・０００−１のアイディアが気に入ったので、とにかく送ってみることにします。

【コメント】

　みごと正解です。
フェルマーの小定理を知っていれば、この解答が一番鮮やかですね。

【東京都　城　あさみさんからのコメント】

フェルマーの小定理はｎが素数でなければ成り立ちません。
従って、それの拡張であるオイラーの定理を使うべきなのですが、実は、私の解答の最後のおまけ部分に、すでにコメントしてあります。

◆東京都の中学校１年生　安里歩安彼 さんからの解答。

【問題１】

１０とＮが互いに素ならば
１０n≡１（mod Ｎ）
となるｎが存在します。（証明略）

よって、１０n−１をＮで割った物をＮにかければ、
求めたい９９…９が得られます。

【問題２】

任意の数Ｎを何倍かして、１を含む数を作るのは容易なことです。
同様に、１〜９のすべての数について、それぞれの数を含むＮの倍数を作るのは容易なことです。（証明略）

さて、今、１〜９までのある数ｘを含むＮの倍数をＮxとし、
Ｎxの桁数を、Ｍxとすると、

Ｎ1＋１０Ｍ1×Ｎ2＋１０Ｍ1＋Ｍ2×Ｎ3＋…＋１０（Ｍ1＋…Ｍ8）×Ｎ9
が、求める数である。

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