◆大阪府の大学生 河野 進 さんからの解答。
「素数の秘密」について考えた事をお知らせします。
１．準備
次の事は証明なしで利用します。
(1.0) ｐを２以上の整数とし、ａ，ｂを整数とすると
(1) ａｂをｐで割った余り
＝（ａをｐで割った余り × ｂをｐで割った余り）をｐで割った余り。
(2) ａ＋ｂをｐで割った余り
＝（ａをｐで割った余り ＋ ｂをｐで割った余り）をｐで割った余り。
以下では、ｐを素数とします。
(1.1) ａをｐで割り切れない整数とすると、
整数ｂが存在してａｂをｐで割ると １余るようにできる。
証明： 一般にｍ，ｎを０でない整数とし２数の最大公約数をｇとすると、
整数ｊ，ｋが存在して
ｍｊ＋ｎｋ＝ｇ
を満たすことがユークリッドの互除法を繰り返し用いることによって
示されると思いますので、その事を証明なしで使わせてもらいます。
この場合、仮定よりａとｐの最大公約数は１なので、
上の事から整数ｂ，ｃが存在して
ａｂ＋ｐｃ＝１，
ａｂ＝−ｃｐ＋１
を満たします。
これは、ａｂをｐで割った商が−ｃで余りが１である事を表しています。
［証明終わり］
(1.2) ａをｐで割りきれない整数とすると、正整数ｎが存在して
次の条件(1)、 (2)を満たす。
(1) ａｎをｐで割ると１余る。
(2) ｊを０＜ｊ＜ｎとなる整数とすると、ａｊをｐで割った余りは１と異なる。
（この様なｎをａのｐを法とする位数と呼ぶ事にします。）
証明：
集合｛ａｊをｐで割った余り ｜ ｊは正整数｝は
要素の個数が高々ｐ−１の有限集合なので、
ｉ＜ｊを満たす正整数の組（ｉ，ｊ）が存在して
ａｊをｐで割った余り＝ａｉをｐで割った余り
となります。
ａｊ＝ａｊ−ｉａｉに注意して
(1.1)をａｉに適用して得られる整数をｂとすると、
ａｊ−ｉａｉｂをｐで割った余り＝ａｉｂをｐで割った余り＝１
となります。
左辺はａｊ−ｉをｐで割った余りに等しいので、
この様なｊ−ｉの最小値をｎとすれば上の条件が満たされる事が分かります。
［証明終わり］
(1.3) ａをｐで割りきれない整数とし、ａのｐを法とする位数をｎとする。
集合Ｓ（ｐ）＝｛ｑ ｜ ｑは０＜ｑ＜ｐをみたす整数｝
に関係〜を
ｑ〜ａｒ ←→ 非負整数ｊが存在してｑ−ａｊｒがｐで割りきれる。
によって定義すると、〜は同値関係となる。
従ってＳ（ｐ）は同値類に分割されるが、
各同値類はｎ個の要素からなるＳ（ｐ）の部分集合となる。
従って、同値類の個数をｍとするとｐ−１＝ｍｎとなる。
証明： ［同値関係である事の証明］
ｊ＝０とおけばｑ〜ａｑとなって反射律が示されます。
ｑ〜ａｒとすると非負整数ｊが存在してｑ−ａｊｒが
従ってａｊｒ−ｑがｐで割りきれます。
このｊに対して正整数ｉを十分大きくとればｎｉ≧ｊとなります。
この時ｎｉ−ｊは非負整数で
（ａｎ）ｉｒ−ａｎｉ−ｊｑ＝ａｎｉ−ｊ（ａｊｒ−ｑ）
がｐで割りきれます。
上の等式の左辺をｐで割った余りは
ｒ−ａｎｉ−ｊｑをｐで割った余りと等しいので
ｒ〜ａｑとなって対称律が示されます。
ｑ〜ａｒかつｒ〜ａｓとすると
非負整数ｊ，ｋが存在してｑ−ａｊｒとｒ−ａｋｓがｐで割りきれます。
この時ｊ＋ｋは非負整数で
ｑ−ａｊｒ＋ａｊ（ｒ−ａｋｓ）＝ｑ−ａｊ＋ｋｓ
がｐで割りきれるのでｑ〜ａｓとなって推移律が示されます。
［各同値類はｎ個の要素からなるＳの部分集合となる事の証明］
Ｓの各要素ｑに対してｑを含む同値類をＳ（ｐ，ｑ；ａ）と表す事にします。
この時ｑ〜ａｒであれば
Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）＝Ｓ（ｐ，ｒ；ａ）となります。
先ずＳ（ｐ，１；ａ）の要素の個数がｎである事を示します。
そのために、(1.2)より下式の右辺は１を含むので、
Ｓ（ｐ，１；ａ）＝｛ａｊをｐで割った余り ｜ ｊは正整数｝
となる事に注意します。
(1.2)より
｛ａｊをｐで割った余り ｜ ｊは正整数｝
＝｛ａｊをｐで割った余り ｜ ｊは０≦ｊ＜ｎを満たす整数｝
となる事からＳ（ｐ，１；ａ）の要素の個数がｎ以下である事が分かります。
ｉ，ｊを０≦ｉ≦ｊ＜ｎを満たす整数とし
ａｉをｐで割った余り＝ａｊをｐで割った余り
とすると
０≦ｊ−ｉ＜ｎでａｊ−ｉｐで割った余り＝１となるので
(1.2)の条件(2)よりｊ−ｉ＝０
つまりｉ＝ｊでなければならない事が分かります。
この事は
Ｓ（ｐ，１；ａ）の要素の個数が丁度ｎである事を示しています。
次に各同値類Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）に対して
Ｓ（ｐ，１；ａ）との間の１対１対応の存在を示す事によって
Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）の要素の個数がｎである事を確かめます。
写像ｆ：Ｓ（ｐ，１；ａ）→Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）を
ｆ（ｋ）＝ｋｑをｐで割った余り
で定義します。
また、ｑはｐで割りきれないので
(1.1)より整数ｓが存在してｑｓをｐで割った余りが１となります。
この様なｓを１つ固定して、
写像ｇ：Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）→Ｓ（ｐ，１；ａ）を
ｇ（ｒ）＝ｒｓをｐで割った余り
で定義します。
ｋがＳ（ｐ，１；ａ）の要素であればｋ〜ａ１、
従って非負整数ｊが存在してｋ−ａｊがｐで割りきれます。
この時ｋｑ−ａｊｑが従ってｆ（ｋ）−ａｊｑがｐで割りきれます。
つまりｆ（ｋ）〜ａｑとなりｆ（ｋ）は
Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）の要素です。
逆にｒがＳ（ｐ，ｑ；ａ）の要素であればｒ〜ａｑ、
従って非負整数ｊが存在してｒ−ａｊｑがｐで割りきれます。
この時
ｒｓ−ａｊｑｓが従ってｇ（ｋ）−ａｊがｐで割りきれます。
つまりｇ（ｋ）〜ａ１となりｇ（ｋ）はＳ（ｐ，１；ａ）の要素です。
この様にｆ，ｇが定義可能である事が分かります。
(1.0)とｓの選び方より
ｇ（ｆ（ｋ））＝ｋ 及び ｆ（ｇ（ｒ））＝ｒ
が任意のｋ，ｒについて成り立つことが分かります。
即ち、ｇ・ｆ，ｆ・ｇは
各々Ｓ（ｐ，１；ａ），Ｓ（ｐ，ｑ；ａ）上の恒等写像である事が分かります。
この事はｆ及びｇが全単射である事を示しています。
［証明終わり］
(1.4) ａをｐで割りきれない整数とし、
ａのｐを法とする位数ｎが偶数であったとしｎ＝２ｍとする。
この時ａｍをｐで割った余りはｐ−１となる。
証明： 仮定よりａ２ｍ−１＝（ａｍ−１）（ａｍ＋１）はｐで割り切れます。
ｐは素数なのでａｍ−１とａｍ＋１の内少なくとも一方がｐでわりきれますが、
ａｍ−１がｐで割り切れるとすると
ａのｐを法とする位数がｍの約数である事になって
ａのｐを法とする位数が２ｍであるという仮定に矛盾します。
従ってａｍ＋１がｐで割り切れます。
即ちａｍをｐで割った余りはｐ−１となります。
［証明終わり］
２． ｑ／ｐの小数表示
ｐを２及び５と異なる（１０の因数でない）素数とします。
ｑを０＜ｑ＜ｐを満たす整数とします。
数列ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）（ｉは０以上の整数）と
数列ａ（ｑ，ｐ；ｉ）（ｉは正整数）を次のように定義します。
(2.1)ｂ（ｑ，ｐ；０）＝ｑ，
ｂ（ｑ，ｐ；ｉ＋１）＝１０ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）をｐで割った余り（０≦ｉ）．
(2.2) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝１０ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）をｐで割った商（１≦ｉ）．
この時、次の性質があります。
(2.3)(1) ０≦ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）＜ｐ （０≦ｉ）．
(2) ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）＝１０ｉｑをｐで割った余り （０≦ｉ）．
(3) ０≦ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＜１０ （１≦ｉ）．
(4)ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ｑ／ｐを小数で表した時の小数点後第ｉ位の数（１≦ｉ）．
証明： (1)と(4)は定義の仕方から直接従います。
(3) (1)より、ｉを１以上の整数とすると
０≦ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）＜ｐ．
従って
(*) ０≦１０ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）＜１０ｐ．
定義(2.1)、(2.2)より
(**) １０ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）＝ｐａ（ｑ，ｐ；ｉ）＋ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）
が成立します。
(**)を(*)に代入して(1)を用いると
−ｐ＜ｐａ（ｑ，ｐ；ｉ）＜１０ｐ．
即ち −１＜ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＜１０．
ａ（ｑ，ｐ；ｉ）は整数値なので(3)が得られます。
(2) ｉ＝０に対して(2)は明かです。
ｉ＝ｋに対して(2)が正しいと仮定します。
この時１０ｋｑ−ｂ（ｑ，ｐ；ｋ）
従って１０ｋ＋１ｑ−１０ｂ（ｑ，ｐ；ｋ）はｐで割り切れます。
即ち１０ｋ＋１ｑをｐで割った余りと
１０ｂ（ｑ，ｐ；ｋ）をｐで割った余りが等しい事が分かります。
定義(2.1)より、これは(2)がｉ＝ｋ＋１に対して正しい事を示しています。
ｉに関する数学的帰納法によって(2)が得られます。
［証明終わり］
以下では１０のｐを法とする位数をｎとします。
この時、(1.3)と(2.3)(2)より
ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）はｉの変化と共にＳ（ｐ，ｑ；１０）を周期ｎで巡回し、
特に
(2.4) ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ｂ（ｑ，ｐ；ｎ＋ｉ）
が全ての非負整数ｉに対して成り立つ事が分かります。
従って定義(2.2)より
(2.5) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｑ，ｐ；ｎ＋ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成り立つ事が分かります。
従って(2.3)(4)よりｑ／ｐを小数で表した時の循環部分は
小数点第１位から始まり循環節の長さはｎの約数である事が分かります。
実は
(2.6) ｑ／ｐを小数で表した時の循環節の長さはｎになる。
証明： 循環節の長さをｋとすると
上の事からｋはｎの約数なので１≦ｋ≦ｎを満たします。また、
(*) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｑ，ｐ；ｋ＋ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成立します。定義(2.1)、(2.2)より
(**) ａ（ｑ，ｐ；ｋ＋ｉ）＝ａ（ｂ（ｑ，ｐ；ｋ），ｐ；ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成立します。(*)、(**)より
(***) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｂ（ｑ，ｐ；ｋ），ｐ；ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成立します。
(2.3)(4)より、(***)は２つの有理数
ｑ／ｐとｂ（ｑ，ｐ；ｋ）／ｐの小数表示が完全に一致する事を意味します。
従って
ｑ／ｐ＝ｂ（ｑ，ｐ；ｋ）／ｐ，
ｑ＝ｂ（ｑ，ｐ；ｋ）
が得られます。
(2.3)(2)より、これはｑ−１０ｋｑ＝ｑ（１−１０ｋ）が
ｐで割り切れる事を意味します。
ｑはｐより小さい正整数なのでｐで割り切れません。
従って１−１０ｋがｐで割り切れる事が分かります。
つまり、１０ｋをｐで割った余りは１となります。
１０のｐを法とする位数がｎなのでｎ≦ｋでなければなりません。
この証明の最初に示した不等式と併せてｋ＝ｎが得られます。
［証明終わり］
(1.3)をａ＝１０に対して適用して決まるＳ（ｐ）の同値類に付いて考えます。
ｑ，ｒをＳ（ｐ）の同じ同値類に含まれる要素とします。
つまり
Ｓ（ｐ，ｑ；１０）＝Ｓ（ｐ，ｒ；１０）
と仮定します。
この時、非負整数ｋが存在してｑ−１０ｋｒがｐで割り切れます。
（１０ｎ−１はｐで割り切れるので０≦ｋ＜ｎと仮定する事ができます。）
(2.3)(2)より、ｂ（ｒ，ｐ；ｋ）＝ｑと成ります。定義(2.1)より
ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ｂ（ｒ，ｐ；ｋ＋ｉ）
が全ての非負整数ｉに対して成り立つ事が分かります。
従って定義(2.2)より
ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｒ，ｐ；ｋ＋ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成り立つ事が分かります。
従って(2.3)(4)よりｑ／ｐの小数表示は
ｒ／ｐの小数表示に於て小数点後のｋ桁を省いて作った小数と成る事が分かります。
言い替えればｑ／ｐの小数表示の循環節はｒ／ｐの小数表示の循環節に於て
ｋ＋１番目の桁が先頭に成るように循環させて作ったものになります。
逆に、ｋを０≦ｋ＜ｎを満たす整数とし、
ｑ／ｐの小数表示の循環節がｒ／ｐの小数表示の循環節に於て
ｋ＋１番目の桁が先頭に成るように循環させて作ったものに一致したと仮定します。
この時、(2.3)(4)より
(*) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｒ，ｐ；ｋ＋ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成り立つ事が分かります。
定義(2.1)、(2.2)より
(**) ａ（ｒ，ｐ；ｋ＋ｉ）＝ａ（ｂ（ｒ，ｐ；ｋ），ｐ；ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成立します。(*)、(**)より
(***) ａ（ｑ，ｐ；ｉ）＝ａ（ｂ（ｒ，ｐ；ｋ），ｐ；ｉ）
が全ての正整数ｉに対して成立します。
(2.3)(4)より、(***)は２つの有理数
ｑ／ｐとｂ（ｒ，ｐ；ｋ）／ｐの小数表示が完全に一致する事を意味します。
従って
ｑ／ｐ＝ｂ（ｒ，ｐ；ｋ）／ｐ，
ｑ＝ｂ（ｒ，ｐ；ｋ）
が得られます。
(2.3)(2)より、これはｑ−１０ｋｒがｐで割り切れる事を意味します。
これはｑとｒが同じ同値類に含まれている事を示しています。つまり
Ｓ（ｐ，ｑ；１０）＝Ｓ（ｐ，ｒ；１０）
が成立します。以上をまとめて
(2.7) 集合Ｓ（ｐ）に関係〜を
ｑ〜ｒ ←→ ０≦ｋ＜ｎを満たす整数ｋが存在して、
ｑ／ｐの小数 表示の循環節がｒ／ｐの小数表示の
循環節に於てｋ＋ １番目の桁が先頭になるように
循環させて作ったもの に一致する。
によって定義すると〜＝〜１０となる。
従って(1.3)より〜は同値関係で同値類の個数は（ｐ−１）／ｎとなる。
(2.8) １０のｐを法とする位数ｎが偶数２ｍである時、
０＜ｑ＜ｐを満たす整数ｑについて、ｑ／ｐの小数表示で
小数点後第ｉ位の数と小数点後第ｍ＋ｉ位の数を加えると
９になる。
証明： (2.3)(2)より
１０ｉｑ−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）と１０ｍ＋ｉｑ−ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）
は共にｐで割り切れます。従って
１０ｍ＋ｉｑ−ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）−１０ｍ（１０ｉｑ−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１））
＝１０ｍｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）−ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）
もｐで割り切れます。
(1.4)より、１０ｍ＋１はｐで割り切れるので、
(*) ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）＋ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）
もｐで割り切れます。
(2.3)(1)より(*)の値は０以上２ｐ−２以下なのでｐに等しい事が分かります。
つまり
(**)(1) ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）＝ｐ−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）
となります。同様に
(**)(2) ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ）＝ｐ−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）
となります。
定義(2.1)、(2.2)より
(***)(1) １０ｂ（ｑ，ｐ；ｉ−１）＝ｐａ（ｑ，ｐ；ｉ）＋ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）
となります。同様に
(***)(2) １０ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ−１）
＝ｐａ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ）＋ｂ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ）
となります。(**)、(***)より
ｐａ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ）＋ｐ−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ）
＝１０ｐ−ｐａ（ｑ，ｐ；ｉ）−ｂ（ｑ，ｐ；ｉ），
即ち
ａ（ｑ，ｐ；ｍ＋ｉ）＝９−ａ（ｑ，ｐ；ｉ）
となります。(2.3)(4)より、これは(2.8)を意味します。
［証明終わり］
以上、紛らわしい表現や誤りも多いかと思いますが、また文字や記号の使い方に不適当な事が多いと思いますが、読んで頂ければ嬉しいです。
この問題を考えるのは楽しかったです。
(2.7)は「素数の秘密２」の命題と同じだと思っています。
(2.8)の証明は、「素数の秘密１」の命題の別証明になると思っています。
ａを素数ｐで割り切れない２以上の整数とした時、１／ｐのａ進法による小数表示についても同様の事が成り立つと証明できると思います。