◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【答え】 ３回
【記号定義】
袋の番号を１〜Ｎとし、Ｐ番目が偽とする。
本物の重さｘ、偽物の重さｘ＋ｙとする。
ｙ≠０
表記：[Ｐ＝Mの場合|Ｐ＜Ｍの場合｜P＞Ｍ i.e.Ｍ以下に偽物なしの場合]ここで Ｎが奇数のとき Ｍ＝Ｎ
【方法】
（計測１）
Ｍ番の袋の１個の重さを計測
Ｗ1＝[ｘ+ｙ｜ ｘ ｜ ｘ ]
（計測２）
1〜Ｍ−１番の袋から１個ずつ取り出し計測値平均
Ｗ2＝[ｘ ｜ x+y/(M-1) ｜ ｘ ]
（計測３）
１〜Ｍ−１番の袋から袋の番号個数ずつ取り出し計測値平均
Ｗ3＝[ｘ ｜ ｘ＋2Ｐｙ／M(M-1) ｜ ｘ ]
M＞Ｐ（≧１) のとき Ｍは奇数なので ２Ｐ≠Ｍ。
即ち Ｗ2≠Ｗ3 である。
（判定１）
Ｗ2＝Ｗ3≠Ｗ1ならば P=M である。
なお、x=W2 x+ｙ＝W1
（判定２）
Ｗ2≠Ｗ3ならば
| Ｐ＝ | M 2 | * | W3-W1 W2-W1 | である。 |
なお、x=W1 x+y=W1＋(M-1)(W2-W1)
（判定３）
W2=W1（＝W3） ならば P=Nである。
なお、x=W1 x+y=？
全部一致するのはM以下に偽物なしであり、Nが偶数の場合にだけ適用。
【出題者のコメント】
正解です。
私の考えていた方法とほとんど同じです。
つけ加えるとすれば、（問題では要求していませんが、）Nが偶数の場合でもニセ物の重さを求めることが可能な事です。
もし、気が向いたらその方法も考えてみて下さい。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
EXCELをお持ちの方はEXCELのデータでご覧ください。
３回 下図のように計測する。
ｘ：本物重さ ｙ＋ｘ：偽物重さ
| Ｗ＝ | (N-1)(N-2) 2 | とおく。 |
Ｐ：偽物袋番号とするとき表の関係になる。
次に、紫計測値ー青計測値
紫計測値−Ｗ×緑計測値を計算する。
このとき、y,Py,(N-2)y,-WyはＮ＞２なので全て０ではない。
従って、まず、Ｐの範囲を下表の３種に分類できる。
Ｐ＝Ｎである。
従って偽物の重さは ｘ＋ｙ＝緑計測値
本物の重さは ｘ＝紫計測値／Ｗ
Ｐ＝Ｎ−１である。
従って偽物の重さは
| ｘ＋ｙ＝ | 青計測値−紫計測値 Ｎ−２ | +緑計測値 |
本物の重さは ｘ＝緑計測値
Ｐ＝１〜Ｎ−２である。
従って偽物の重さは
ｘ＋ｙ＝（紫計測値−青計測値）+緑計測値
本物の重さは ｘ＝緑計測値
これよりＰは計算で求まり
| Ｐ＝ | 紫計測値−Ｗ×緑計測値 紫計測値−青計測値 |
【感想】
とても良い問題だと思います。
今後数学パズル系の本に取り上げられるのでは。？
残念なのはコインの数がNでなく、N-2個で良いことです。
でも制限無しにすると別の方法が出てきますね。
因みに別方法の１つは
「Ａ＝各一個、Ｂ＝各袋番号個、Ｃ＝各袋番号２乗個ずつ」と言う方法です。
結論だけ書くと
3(N2-1)Q2+{6(N+1)-6C-(2N+1)(N+1)A}Q+{AC-B2}=0
なるＱの２次方程式の小さいほうの解Qをもとめ
x=6Q/N
y=A-Nx
P=(B-Nx(N+1)/2)/y
で求まります。