◆愛知県 Kernighan さんからの解答。
1+eix
| =eix/2(eix/2+e-ix/2) |
| = | 2eix/2 | cos | ( | x 2 | ) |
より
ΣnＣk(cos(kx)+isin(kx))
=ΣnＣkeikx
=(1+eix)n
| = | 2n einx/2 | cos | ( | x 2 | ) | n |
両辺の実部をとって
ΣnＣkcos(kx)
| = | 2n | cos | ( | nx 2 | ) | cos | ( | x 2 | ) | n |
nＣk･kＰj
| = | n! (n-k)!k! | ･ | k!
(k-j)! |
| = | (n-j)! (n-k)!(k-j)! | ･ | n!
(n-j)! |
より
| n Σ k=0 | nＣk((-1)k | k Σ j=0 | kＰj) |
| = | n Σ j=0 |
n Σ k=j | (-1)k nＣk･kＰj |
| = | n Σ j=0 | nＰj | n Σ k=j | (-1)k n-jＣk-j |
| =(-1)nnＰn |
| =(-1)n n! |
nＣk･kＣj =n-jＣk-j･nＣj
より
| n Σ k=0 | (-1)k nＣkg(k) |
| = | n Σ k=0 | (-1)knＣk( | k Σ j=0 | kＣj･f(j)) |
| = | n Σ j=0 | f(j) | n Σ k=j | (-1)k nＣk･ kＣj |
| = | n Σ j=0 | f(j)nＣj | n Σ k=j | (-1)k n-jＣk-j |
| =f(n) | nＣn | (-1)n |
| =(-1)n f(n) |
従って
| f(n)= | n Σ k=0 | (-1)n+k nＣkg(k) |
こんな関係が成り立つとは知りませんでした。