◆福岡県の高校生 くおれ さんからの解答。
【問題１】
（１，２，５），（２，５，２９）
【問題２】
a12＋a22＋…＋an2＝n・a1・a2・…・an
が成り立っている時、a1〜anで最小の自然数であるa1を別の自然数に置き換えることを考える。
a1→b
この時、左辺の変化した量は、
b2−a12＝（b−a1)(b＋a1）
また、右辺の変化した量は、
n・a2・a3・…・an・(b−a1）
である。
ここで、
b2＋a22＋a32＋…＋an2
＝n・b・a2・a3・…・an
が成り立つためには、
(b−a1)(b＋a1)
＝n・a2・a3・…・an・(b−a1）
∴ n・a2・a3・…・an＝b＋a1
∴
b
＝n・a2・a3・…・an−a1
＞n・a2・a3・…・an−an
＞an{n・a2・a3・…・an-1−１}
＞an
∴ b＞an
以上の操作を繰り返して行えば、次々に新しい自然数がうまれ、この組み合わせは無限に存在する。
（Ｑ.Ｅ.Ｄ.）
ちなみにこの操作はa1=a2=…=an=1からはじめ、(n-1)回繰り返せば
a1＜a2＜…＜anが成り立つ。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【一般に】
| N Σ i=1 |
ai2=N* | N Π i=1 |
ai ――――（１） |
は ai=1 （for all i） を整数解としてもつ。
いま（１）を成立させる整数の組 ｛ai｝ があるとする。
このうちの１成分ak=ｘを未知数とすると
（１）はｘの２次方程式 ｘ2―Ｂｘ＋Ｃ＝０ に 変形される。
ここで Ｂ、Ｃは整数で とくに ２次方程式のもう一つの解をｙとすると（２）が成立する。
| Ｂ＝N* | N Π i=1,i≠k |
ai＝ｘ＋ｙ ―――（２） |
よって、ｙも整数であり、｛ai｝のakをｙに換えた組も(１)の整数解である。
しかも（２）から判る様にＮ＞２であるから、
唯一の最大値でないak をｘとして選び
ai≧１であるとき
ｙ＝Ｂ−ｘ＞２max(ai)−ｘ≧max(ai)
すなわち、新しい組は基本とした組とは異なる組でかつ、基本とした組のどの成分とも一致しないより大きな成分値が加わる。
よって、ai=1 （for all i）の組を基本として、
上記操作をＮ−１回ak=1の成分に対して実施することにより、
成分値が全部異なる（１）の自然数解を得ることができる。
【問題１】
＜１，２，５＞ ＜２，５，２９＞ ＜１，５，１３＞
∵1,1,1 x =1 B=3 y= 2
1,1,2 x =1 B=6 y= 5
1,2,5 x= 1 B=30 y=29 x=2 B=15 y=13
2,5,29 1,5,13
【問題２】
【一般に】に示したように、少なくとも１つ、成分値が全て異なる自然数解が得られる．
これを基本に【一般に】の手順で最大値がいくらでも大きく、成分値が全て異なる自然数解を作って行くことができる。
すなわち無限に作ることができる。例 Ｎ＝４
1,1,1,1 x=1 B=4 y=3
1,1,1,3 x=1 B=12 y=11
1,1,3,11 x=1 B=132 y=131 次から解
1,3,11,131 x=11 B=1572 y=1561
1,3,131,1561 x=131 B=18732 y=18601
1,3,1561,18601 ・・・・
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
フィボナッチ数列の奇数項による特殊解
F(1)=1,F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(n+1)*F(n-1)-F(n)2
=(F(n-1)+F(n))*F(n-1)-F(n)2
=F(n-1)2 +F(n)*(F(n-1)-F(n))
=F(n-1)2 -F(n)*F(n-2)
=-(F(n)*F(n-2)-F(n-1)2 )
......................
......................
=(-1)n
n=2m+2，m≧1
F(2m+3)*F(2m+1)-F(2m+2)2 =1
F(2m+2)2 =F(2m+3)*F(2m+1)-1
F(2m+1)2+F(2m+3)2-2*F(2m+1)*F(2m+3)
=(F(2m+3)-F(2m+1))2
=F(2m+2)2
12 +F(2m+1)2 +F(2m+3)2 =3*1*F(2m+1)*F(2m+3)
『フィボナッチ数列の性質 Part4』が出題されているので投稿してみました。
◆出題者のコメント。
くおれさんの解答もY.M.Ojisanさんからの解答も正解です。
私もこれらの関係式には気づいていたのですが、くおれさんが解答されているように、最小の自然数を次々と変換していけば、題意を満たす数列が作れることは気づかなかったです。
そうすればうまく説明できるんですね。
フィボナッチ数列との関係はまったく考えていなかったのですが、ひょっとすると一般にｎの場合も関連があるのかもしれませんね。