◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
真ん中の自然数をiとすると
i ≦２m-1の場合 i-1数列があります。
合計１+２+...+(２m-1-1)＝２m-2 (２m-1-１)
２m-1+１≦i≦２mの場合も対称的になります。
つまり
全部の数列の数
＝２＊２m-2 (２m-1-１)
＝２m-1 (２m-1-１)
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
２mは明らかに偶数ですから、２m＝２ｎ とします。
等差をｄとすると、１を含めた３つの数でできる等差数列の最後の数は
１＋２ｄですから、どんな等差でも１から始まれば最後の数は必ず奇数になります。
１を含めた３つの数でできる等差数列において
等差が１番目に大きい時の数列の最後の数は (２ｎ−１)
等差が２番目に大きい時の数列の最後の数は (２ｎ−３)
等差が３番目に大きい時の数列の最後の数は (２ｎ−５)
↓
等差が(ｎ−２)番目に大きい時の数列の最後の数は ５
等差が(ｎ−１)番目に大きい時の数列の最後の数は ３
これらの数列は同じ等差のまま最後の数が２ｎになるまでずらせるので、
等差が１番目に大きい数列は ２個
等差が２番目に大きい数列は ４個
等差が３番目に大きい数列は ６個
↓
等差が(ｎ−２)番目に大きい数列は ２(ｎ−２)個
等差が(ｎ−１)番目に大きい数列は ２(ｎ−１)個
それ故、
求める等差数列の個数
| ＝ ２ | { | ｎ(ｎ−１) ２ | } |
| ＝ ｎ(ｎ−１) |
ここで、２ｎ＝２m ですから
ｎ＝２m-1
∴ 求める等差数列の個数 ＝ ２m-1(２m-1−１)
【感じたこと】
１から２mまでの自然数を １から偶数ｘまでの自然数とした時、
| 求める等差数列の個数 ＝ | ｘ ２ | ( | ｘ ２ | −１ | ) |
偶数ｘを ２m で表そうが ２ｎで表そうが基本的には同じ式になります。
ですから、問題のように敢えて ２m にする必要はないのでは・・・
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
ｎが奇数の場合
| n-1 2 | ( | n-1 2 |
-1 | ) | + | n-1 2 |
= | ( | n-1 2 |
) | 2 |
偶数、奇数を含めて、下記の式で表せます。
| [ | n 2 |
] | [ | n-1 2 |
] |