『無限級数の和』

『無限級数の和』解答

◆おことわり

　問題２は当初、

Ｐ
Ｑ＝1- 1
2 ＋ 1
3 - 1
4 + 1
5 - 1
6 +・・- 1
1332 + １
1333

となっていたのを、問題を変更して、

最後の１
1333 を削除しました。

以下の解答はそのつもりでご覧ください。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題２】

　結論から言えば、Ｐ／Ｑは既約の分数とは言ってないので１９９９（素数）をＰ，Ｑ共に持つことになる。
勿論Ｐは１９９９で割り切れる。

1- 1
2 ＋ 1
3 - 1
4 + 1
5 - 1
6 +・・- 1
1332 + １
1333
約０．６９６８９２。０．６９６８９２＜１
（計算しなくてもわかると思います。）

Ｐ＝１９９９×Ｎとすると、
１９９９×Ｎ＝Ｑ×（．．．．．．．．．．．．．．）。
したがってＱ＝１９９９×Ｍ、Ｍ＜Ｎでなければならない。
Ｍ，Ｎは自然数。

Ｍ／Ｎ＝（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）

Ｐは１９９９に限らず何でもよかったのですね。　

【問題１】

　問題の無限級数は収束するための条件を満たさないので数Ｃは存在しないのではないでしょうか。

　特に問題２は数学的パズル（頓智）ですね。
それともまじめに計算すると必然なのでしょうか。
間違っていれば申し訳ありません。

【コメント】

　問題１は、私はある関数の級数展開を思い出して解きました。
札付きの収束の悪い級数なのですが、確かに収束します。
０．６９３１・・

できれば、もっとエレガントに求めてみてください。
問題２の方は、問題１の方法をヒントに考え直してみてください。

◆静岡県　ヨッシーさんからの解答。

【問題１】

log(x+1) をテーラー展開すると

log(x+1)=x－ x²
2 ＋ x³
3 － x⁴
4 ＋・・＋ (-1)ⁿ⁺¹*xⁿ
n ・・

となります。

Ｃはこれに x=1 を代入したものですから、

Ｃ＝log２　（log は自然対数）

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題２】

最後の　＋ 1
1333
がなければ証明出来るように思うのですが？。

A=1+ 1
2 ＋ 1
3 + 1
4 ＋・・・+ 1
1331 ＋ 1
1332
　...................1)

B=1+ 1
2 ＋ 1
3 + 1
4 ＋・・・+ 1
665 ＋ 1
666
　...................2)

　上記のＡ，Ｂを作る。

1
2 B= 1
2 ＋ 1
4 + 1
6 ＋・・・+ 1
1332
　...................3)

1)-3)

A- 1
2 B=1+ 1
3 ＋ 1
5 +・・・ 1
1331
　...................4)

4)-3)

A- 1
2 B- 1
2 B=1- 1
2 ＋ 1
3 -・・ 1
1331 - 1
1332
　...................5)

左辺を整理すると、

Ｐ
Ｑ＝Ａ－Ｂ

1)-2)

Ｐ
Ｑ

＝Ａ－Ｂ

＝ 1
667 + 1
668 +・・+ 1
1331 - 1
1332

＝( 1
667 + 1
1332 )+( 1
668 + 1
1331 )+・・ +( 1
999 + 1
1000 )

＝1999*( 1
667*1332 + 1
668*1331 +・・+ 1
999*1000 )

　...................6)

6)式からＰは１９９９で割り切れることが証明されたことになる。

以上です。

勝手に問題を変えてはいけないと思うのですか、一応送らせてもらいます。

【コメント】

　巧妙な証明ですね。
１９９９は素数ですから、それを利用すればよいですね。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題２】

ヒントをもとに考えました。

A=1+ 1
2 ＋ 1
3 ＋・・・+ 1
1332 ＋ 1
1333
　...................1)

B=1+ 1
2 ＋ 1
3 + ・・・+ 1
665 ＋ 1
666
　...................2)

　上記のＡ，Ｂを作る。

1
2 B= 1
2 ＋ 1
4 + 1
6 ＋・・・+ 1
1332
　...................3)

1)-3)

A- 1
2 B=1+ 1
3 ＋ 1
5 +・・・ 1
1333
　...................4)

4)-3)

A- 1
2 B- 1
2 B=1- 1
2 ＋ 1
3 -・・- 1
1332 + 1
1333
　...................5)

5)式の左辺を整理すると、

Ｐ
Ｑ＝Ａ－Ｂ

　Ａ－Ｂ

＝ 1
667 + 1
668 +・・+ 1
1332 + 1
1333

＝( 1
667 + 1
1332 )+( 1
668 + 1
1331 )+・・ +( 1
999 + 1
1000 )+ 1
1333

＝1999*( 1
667*1332 + 1
668*1331 +・・+ 1
999*1000 )+ 1
1333

　ここで１９９９は素数でかつすべての分母が１９９９の素因数を持たない。
したがって、

1
1333 ＝ 1999
1333*1999

としてもＱに影響を与えることはない。

P
Q ＝1999*( 1
667*1332 +・・+ 1
999*1000 + 1
1333*1999 )
　...................6)

6)式からＰが１９９９で割り切れることを証明したことになる。

◆広島県　清川　育男さんからのコメント。

【問題２】

　数を小さくして実験してみました。
Ｐ／Ｑが既約分数でかつＰが１９９９で割り切れるというのであれば、（＋１／１３３３）があっては無理なのではないでしょうか。
既約分数でないとすると１９９９の必然性がないと思うのですが如何なものでしょうか。

実験してみて面白い現象を見つけました。

1) P
Q ＝1- 1
2 + 1
3 　Ｐは５で割り切れる。

2) P
Q ＝1- 1
2 + 1
3 - 1
4 　Ｐは７で割り切れる。

3) P
Q ＝1- 1
2 +・・- 1
6 + 1
7 　Ｐは１１で割り切れる。

4) P
Q ＝1- 1
2 +・・+ 1
7 - 1
8 　Ｐは１３で割り切れる。

5) P
Q ＝1- 1
2 +・・- 1
10 + 1
11 　Ｐは１７で割り切れる。

6) P
Q ＝1- 1
2 +・・+ 1
11 - 1
12 　Ｐは１９で割り切れる。

7) P
Q ＝1- 1
2 +・・- 1
14 + 1
15 　Ｐは２３で割り切れる。

8) P
Q ＝1- 1
2 +・・+ 1
15 - 1
16 　２５は素数でない。

9) P
Q ＝1- 1
2 +・・- 1
18 + 1
19 　Ｐは２９で割り切れる。

10) P
Q ＝1- 1
2 +・・+ 1
19 - 1
20 　Ｐは３１で割り切れる。

11) P
Q ＝1- 1
2 +・・- 1
22 + 1
23 　３５は素数でない。

12) P
Q ＝1- 1
2 +・・+ 1
23 - 1
24 　Ｐは３７で割り切れる。

Ｎが奇数のとき

　1- 1
2 +・・- 1
2N + 1
2N+1

Ｎが偶数のとき

　1- 1
2 +・・- 1
2N-1 - 1
2N

素数でないものもありますが、素数は順番に現れます。

◆東京都の中学校１年生　akito さんからの解答。

P
Q =(1+ 1
2 +…+ 1
1332 )-2( 1
2 + 1
4 +…+ 1
1332 )と表現でき、

=(1+ 1
2 +…+ 1
1332 )-(1+ 1
2 +…+ 1
666 )

= 1
667 + 1
668 +…+ 1
1332 と変形できる。

また、有限和なので順序を入れ替えてもよく、

=( 1
667 + 1
1332 )+( 1
668 + 1
1331 )+…+( 1
999 + 1
1000 )
と書き直せる。

ここで各括弧内を通分すれば、

= 1999
Q[1] + 1999
Q[2] +…+ 1999
[k] となる。

（ここでは各分母をQ[n]と書かせてもらう。）

この後、さらに全てを通分すれば、分子は1999×ｐ（ｐは整数）という形になり、分子が1999で割り切れることがわかる。

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